Sejam V=(2,1,1) e W=(2,0,2) vertores no espaço, e seja U um vetor paralelo ao vetor T=(4,0,2). Sabendo que o volume do paralelepípedo determinado por U, V e W é 6 unidades de volume, encontre o vetor U. (há 2 possibilidades).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o vetor que é paralelo ao vetor . Sabemos também que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e é igual a 6 unidades de volume.
Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o cálculo do volume de um paralelepípedo através do determinante. Para isso, precisamos entender como calcular o determinante usando os componentes dos vetores e como o paralelismo entre e influencia na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume V = | det(U, V, W) | de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do determinante da matriz formada por esses vetores:
O determinante nessa fórmula nos dá uma medida do “espaço” que os três vetores ocupam no espaço tridimensional.

Passo 3

Sabemos que U = k cdot T = k cdot (4, 0, 2) = (4k, 0, 2k) é paralelo a . Isso significa que pode ser escrito como um múltiplo escalar de . Vamos chamar esse múltiplo de . Então:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz a condição do volume ser 6 unidades.

Passo 4

Agora, substituímos 6 = | det 4k & 2 & 2 0 & 1 & 0 2k & 1 & 2 | na fórmula do volume:
det = 4k cdot (1 cdot 2 - 0 cdot 1) - 2 cdot (0 cdot 2 - 2k cdot 1) + 2 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 2k)
Vamos calcular esse determinante:
= 4k cdot (2 - 0) - 2 cdot (0 - 2k) + 2 cdot (0 - 2k)
= 8k + 4k - 4k
= 8k
|8k| = 6
Então, temos:
8k = 6 ou 8k = -6
Resolvendo para k = 68 = 34 ou k = -68 = -34 :

Resposta

Os vetores U = (4 cdot 34, 0, 2 cdot 34) = (3, 0, 1.5) que satisfazem as condições da questão são:
U = (4 cdot -34, 0, 2 cdot -34) = (-3, 0, -1.5)
e

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