Sejam e vertores no espaço, e seja um vetor paralelo ao vetor . Sabendo que o volume do paralelepípedo determinado por e é 6 unidades de volume, encontre o vetor . (há 2 possibilidades).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o vetor que é paralelo ao vetor . Sabemos também que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e é igual a 6 unidades de volume.
Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o cálculo do volume de um paralelepípedo através do determinante. Para isso, precisamos entender como calcular o determinante usando os componentes dos vetores e como o paralelismo entre e influencia na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do determinante da matriz formada por esses vetores:
O determinante nessa fórmula nos dá uma medida do “espaço” que os três vetores ocupam no espaço tridimensional.
Passo 3
Sabemos que é paralelo a . Isso significa que pode ser escrito como um múltiplo escalar de . Vamos chamar esse múltiplo de . Então:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz a condição do volume ser 6 unidades.
Passo 4
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Vamos calcular esse determinante:
Então, temos:
Resolvendo para :
Resposta
Os vetores que satisfazem as condições da questão são: