Se a e b são números irracionais, é verdade que a+b2 é irracional? Prove a veracidade dessa afirmação ou dê um contraexemplo, mostrando que ela é falsa.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se, quando e são números irracionais, a média também é irracional. Para resolver isso, precisamos usar conceitos sobre números irracionais e como eles se comportam em operações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número irracional. Um número irracional não pode ser expresso como uma fração simples , onde e são inteiros, e sua representação decimal não termina nem se repete.

Passo 3

Agora, para verificar se a média de dois números irracionais é necessariamente irracional, vamos tentar encontrar um exemplo onde isso não aconteça. Se conseguirmos encontrar mesmo um caso onde a média é racional, a afirmação original será falsa.

Passo 4

Vamos escolher . Sabemos que é irracional.

Passo 5

Agora, vamos escolher . Aqui, é um número racional e é irracional. A soma de um número racional e um irracional também é irracional, então é irracional.

Passo 6

Vamos calcular a média raiz2 + (2 - raiz2)2 = 22 = 1 :
O resultado é , que é um número racional.

Resposta

Portanto, mesmo que e sejam irracionais, a média pode ser racional. Isso mostra que a afirmação original é falsa.

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