Se
e
são números irracionais, é verdade que
é irracional? Prove a veracidade dessa afirmação ou dê um contraexemplo, mostrando que ela é falsa.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se, quando
e
são números irracionais, a média
também é irracional. Para resolver isso, precisamos usar conceitos sobre números irracionais e como eles se comportam em operações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número irracional. Um número irracional não pode ser expresso como uma fração simples
, onde
e
são inteiros, e sua representação decimal não termina nem se repete.
Passo 3
Agora, para verificar se a média de dois números irracionais é necessariamente irracional, vamos tentar encontrar um exemplo onde isso não aconteça. Se conseguirmos encontrar mesmo um caso onde a média é racional, a afirmação original será falsa.
Passo 4
Vamos escolher
. Sabemos que
é irracional.
Passo 5
Agora, vamos escolher
. Aqui,
é um número racional e
é irracional. A soma de um número racional e um irracional também é irracional, então
é irracional.
Passo 6
Vamos calcular a média
:
O resultado é
, que é um número racional.
Resposta
Portanto, mesmo que
e
sejam irracionais, a média
pode ser racional. Isso mostra que a afirmação original é falsa.