Verifique se o operador linear cuja matriz canônica é dada por é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine o seu operador inverso obtendo ao final a lei de associação de T^-1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear [T] = 3 & -2 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 cujo a matriz é dada por:
A missão aqui é verificar se esse operador é um isomorfismo, ou seja, se ele é bijetivo (injetor e sobrejetor). Se for, a gente também precisa encontrar o operador inverso .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um operador linear ser um isomorfismo, sua matriz associada precisa ser invertível. E uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero.
Passo 3
Então, vamos calcular o determinante da matriz det([T]) = 3 times 1 times 1 = 3 . A matriz é triangular (todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o que facilita o cálculo do determinante. Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 4
Como o determinante é 3, que é diferente de zero, concluímos que a matriz é invertível. Isso significa que o operador é um isomorfismo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a matriz inversa [T]^-1 = 13 & 23 & -23 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Para matrizes triangulares, a inversa também é triangular, e podemos calcular os elementos dessa inversa de forma mais simples.
Começamos pela diagonal principal:
O inverso de 3 é .
O inverso de 1 é 1.
O inverso de 1 é 1.
Agora, precisamos ajustar os elementos acima da diagonal para garantir que o produto da matriz original pela sua inversa dê a matriz identidade.
Passo 6
Por fim, vamos expressar a lei de associação do operador inverso T^-1(y) = [T]^-1 y = 13 & 23 & -23 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 y . Isso significa que para qualquer vetor , o operador inverso atua da seguinte maneira:
Resposta
Sim, o operador [T]^-1 = 13 & 23 & -23 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 é um isomorfismo. O operador inverso T^-1(y) = [T]^-1 y é dado pela matriz inversa: