Prove que
é irracional, onde
é um número primo qualquer.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que
é irracional, onde
é um número primo qualquer maior que 1. Isso envolve entender os conceitos de números irracionais e propriedades dos números primos. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada prova por contradição.
Passo 2
A prova por contradição começa assumindo o oposto do que queremos provar. Então, vamos supor que
é racional. Se for racional, podemos expressá-lo como uma fração
, onde
e
são números inteiros positivos que não têm nenhum divisor comum além de 1 (ou seja, a fração está simplificada).
Passo 3
Então, temos:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador, obtemos:
Isso significa que
é múltiplo de
.
Passo 5
Como
é um número primo e divide
, pela propriedade dos primos,
também divide
. Portanto, podemos escrever
como
, onde
é um número inteiro.
Passo 6
Substituindo
por
na equação
, temos:
Passo 7
Agora, dividindo ambos os lados por
:
Isso mostra que
também é múltiplo de
, e novamente, pela propriedade dos primos,
divide
.
Passo 8
Então, tanto
quanto
são múltiplos de
. Mas isso contraria a nossa suposição inicial de que
estava na forma reduzida, ou seja, que
e
não têm divisores comuns além de 1.
Resposta
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição inicial de que
é racional está errada. Portanto,
é irracional.