Prove que raizp é irracional, onde p>1 é um número primo qualquer.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que raizp é irracional, onde p é um número primo qualquer maior que 1. Isso envolve entender os conceitos de números irracionais e propriedades dos números primos. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada prova por contradição.

Passo 2

A prova por contradição começa assumindo o oposto do que queremos provar. Então, vamos supor que raizp é racional. Se for racional, podemos expressá-lo como uma fração ab, onde a e b são números inteiros positivos que não têm nenhum divisor comum além de 1 (ou seja, a fração está simplificada).

Passo 3

Então, temos:
raizp = ab
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
p = a^2b^2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por b^2 para eliminar o denominador, obtemos:
p cdot b^2 = a^2
Isso significa que a^2 é múltiplo de p.

Passo 5

Como p é um número primo e divide a^2, pela propriedade dos primos, p também divide a. Portanto, podemos escrever a como a = p cdot k, onde k é um número inteiro.

Passo 6

Substituindo a por p cdot k na equação p cdot b^2 = a^2, temos:
p cdot b^2 = (p cdot k)^2
p cdot b^2 = p^2 cdot k^2

Passo 7

Agora, dividindo ambos os lados por p:
b^2 = p cdot k^2
Isso mostra que b^2 também é múltiplo de p, e novamente, pela propriedade dos primos, p divide b.

Passo 8

Então, tanto a quanto b são múltiplos de p. Mas isso contraria a nossa suposição inicial de que ab estava na forma reduzida, ou seja, que a e b não têm divisores comuns além de 1.

Resposta

Como chegamos a uma contradição, nossa suposição inicial de que raizp é racional está errada. Portanto, raizp é irracional.

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