Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
b) Se a e b são vetores LD, então |a|=|b|.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre vetores a e b que são linearmente dependentes (LD). A afirmação é: "Se a e b são vetores LD, então |a| = |b|". Nosso objetivo é dizer se isso é verdadeiro ou falso e explicar o porquê.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Vetores a e b são LD se um deles é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real k tal que a = kb ou b = ka.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas normas (ou magnitudes) desses vetores. A norma de um vetor v, representada por |v|, mede o comprimento desse vetor. Se a = kb, então |a| = |k||b|. Aqui, |k| é o valor absoluto de k, garantindo que a norma seja sempre um número positivo.

Passo 4

A afirmação diz que |a| = |b|. Vamos ver se isso sempre acontece. Se |a| = |k||b|, para que |a| = |b|, precisamos que |k| = 1. Isso significa que k pode ser 1 ou -1.

Passo 5

Mas a definição de vetores LD não exige que k seja necessariamente 1 ou -1. O valor de k pode ser qualquer número real diferente de zero. Por exemplo, se k = 2, então |a| = 2|b|, que claramente não é igual a |b|.

Passo 6

Portanto, a igualdade das magnitudes |a| = |b| ocorre apenas quando |k| = 1, mas isso não é uma condição obrigatória para vetores serem linearmente dependentes.

Resposta

FALSA. Vetores linearmente dependentes podem ter magnitudes diferentes, pois um é múltiplo escalar do outro, mas o fator de escala não precisa ser 1.

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