Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir, justificando sua resposta.
b) Se
e
são vetores LD, então
.
b) Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre vetores
e
que são linearmente dependentes (LD). A afirmação é: "Se
e
são vetores LD, então
". Nosso objetivo é dizer se isso é verdadeiro ou falso e explicar o porquê.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Vetores
e
são LD se um deles é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real
tal que
ou
.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas normas (ou magnitudes) desses vetores. A norma de um vetor
, representada por
, mede o comprimento desse vetor. Se
, então
. Aqui,
é o valor absoluto de
, garantindo que a norma seja sempre um número positivo.
Passo 4
A afirmação diz que
. Vamos ver se isso sempre acontece. Se
, para que
, precisamos que
. Isso significa que
pode ser
ou
.
Passo 5
Mas a definição de vetores LD não exige que
seja necessariamente
ou
. O valor de
pode ser qualquer número real diferente de zero. Por exemplo, se
, então
, que claramente não é igual a
.
Passo 6
Portanto, a igualdade das magnitudes
ocorre apenas quando
, mas isso não é uma condição obrigatória para vetores serem linearmente dependentes.
Resposta
FALSA. Vetores linearmente dependentes podem ter magnitudes diferentes, pois um é múltiplo escalar do outro, mas o fator de escala não precisa ser 1.