Se a e b são números racionais e s irracional, prove que: a+b e a b são racionais;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala o seguinte: Se e são números racionais e é irracional, a gente precisa provar que e são racionais. Aqui, estamos lidando com números racionais e irracionais, que fazem parte da matéria de matemática básica sobre conjuntos numéricos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais, e como eles se comportam nas operações de soma e multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são números racionais. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e . Exemplos de números racionais são , 3, e -4.
Já um número irracional não pode ser expresso dessa forma. Ele não pode ser representado como uma fração de dois inteiros. Exemplos famosos são e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma a + b = pq + rs = ps + rqqs onde e são racionais. Sabemos que a soma de dois números racionais resulta em outro número racional. Isso acontece porque, se e , então:
Como são inteiros e , a soma também é uma fração de dois inteiros, ou seja, é racional.

Passo 4

Agora, vamos para a multiplicação a times b = pq times rs = p times rq times s . Da mesma forma que na soma, a multiplicação de dois números racionais também resulta em um número racional. Usando os mesmos valores para e :
Aqui, e são inteiros, e . Portanto, o produto também é uma fração de dois inteiros, o que o torna um número racional.

Resposta

Concluímos que, se e são números racionais, então tanto a soma quanto o produto são números racionais.

Exercícios relacionados