Se
e
são números racionais e
irracional, prove que:
e
são racionais;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala o seguinte: Se
e
são números racionais e
é irracional, a gente precisa provar que
e
são racionais. Aqui, estamos lidando com números racionais e irracionais, que fazem parte da matéria de matemática básica sobre conjuntos numéricos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais, e como eles se comportam nas operações de soma e multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são números racionais. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Exemplos de números racionais são
, 3, e -4.
Já um número irracional não pode ser expresso dessa forma. Ele não pode ser representado como uma fração de dois inteiros. Exemplos famosos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma
onde
e
são racionais. Sabemos que a soma de dois números racionais resulta em outro número racional. Isso acontece porque, se
e
, então:
Como
são inteiros e
, a soma
também é uma fração de dois inteiros, ou seja, é racional.
Passo 4
Agora, vamos para a multiplicação
. Da mesma forma que na soma, a multiplicação de dois números racionais também resulta em um número racional. Usando os mesmos valores para
e
:
Aqui,
e
são inteiros, e
. Portanto, o produto
também é uma fração de dois inteiros, o que o torna um número racional.
Resposta
Concluímos que, se
e
são números racionais, então tanto a soma
quanto o produto
são números racionais.