Dada a transformação linear
& T: R^3 longrightarrow R^4 & (x, y, z) longmapsto T(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z, 2 x-y+z,-y)
Vamos determinar o núcleo e a imagem desta transformação linear.
Essa transformação é injetiva? É sobrejetiva?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é descobrir o núcleo (conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) e a imagem (conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de ). Além disso, vamos verificar se essa transformação é injetiva (cada vetor de entrada mapeia para um vetor único de saída) e sobrejetiva (todos os vetores de saída possíveis são alcançados). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações lineares, matrizes e conceitos de dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de x - y - z = 0 x + y + z = 0 2x - y + z = 0 -y = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem , ou seja:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. A última equação é simples: , então .
Substituindo nas outras equações:

Passo 4

Agora, sabemos que x + x = 0 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0 . Substituindo isso na segunda equação:
Como , então também. Portanto, .

Passo 5

Isso significa que o núcleo de Núc<=o(T) = 0 é apenas o vetor zero:
ú

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0 . A imagem é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz associada à transformação . A matriz de é:

Passo 7

Para encontrar a imagem, precisamos determinar o espaço gerado por essas colunas. Vamos verificar a independência linear dessas colunas.
Vamos formar um sistema e encontrar se há soluções não triviais. Já vimos que apenas a solução trivial existe, o que significa que as colunas são linearmente independentes.

Passo 8

Como as colunas são lineares independentes e há 3 delas, a dimensão da imagem de é 3. Portanto, a imagem de é um subespaço de com dimensão 3.

Passo 9

Agora, vamos verificar se a transformação é injetiva e sobrejetiva.
  • Injetiva: Uma transformação linear é injetiva se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. Como encontramos que ú, é injetiva.
  • Sobrejetiva: Uma transformação linear é sobrejetiva se a imagem coincide com todo o espaço codomínio. Aqui, a imagem de tem dimensão 3, mas o espaço codomínio é , que tem dimensão 4. Portanto, não é sobrejetiva.

Resposta

O núcleo de é apenas o vetor zero, a imagem de é um subespaço de com dimensão 3. A transformação é injetiva, mas não é sobrejetiva.

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