Em dependência do parâmetro real , calcule o posto da matriz
e, em cada caso, encontre uma base do espaço coluna da matriz que consiste de colunas de B e encontre uma base do espacço linha da matriz que consiste de linhas de B.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular o posto da matriz dependendo do valor do parâmetro real . Depois, vamos encontrar uma base do espaço coluna e uma base do espaço linha da matriz . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, dependência linear e redução de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Para encontrar o posto, a gente pode reduzir a matriz para a forma escalonada por linhas usando operações elementares e contar quantas linhas não nulas temos.
Passo 3
Vamos começar escrevendo a matriz B = k & k-1 & 1 & -1 & k 1 & 0 & k & -1 & k 1 & 1-k & k & -k & 1 :
Nosso objetivo é reduzir essa matriz para uma forma mais simples e identificar o número de linhas que não ficam todas zero.
Passo 4
Vamos usar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz. Primeiro, vamos usar a primeira linha como pivô para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Subtraindo L2' = L2 - 1kL1 vezes a primeira linha da segunda linha:
L3' = L3 - 1kL1
E subtraindo vezes a primeira linha da terceira linha:
Isso vai simplificar os elementos abaixo do primeiro pivô.
Passo 5
Depois de realizar essas operações, a matriz fica assim:
B' = k & k-1 & 1 & -1 & k 0 & -k+1k & k - 1k & -1 + 1k & k - kk 0 & (1-k) - (1-k)k & k - 1k & -k + 1k & 1 - kk
Simplificando os elementos:
B' = k & k-1 & 1 & -1 & k 0 & -k+1k & k - 1k & -1 + 1k & 0 0 & 0 & k - 1k & -k + 1k & 0
Passo 6
Agora, vamos analisar os pivôs dessa matriz reduzida. O primeiro pivô é . O segundo pivô é , e o terceiro pivô é .
O posto da matriz vai depender dos valores de :
Se , (ou seja, ), então temos três pivôs. Portanto, o posto é 3.
Se , ou seja, , então ou . Nesses casos, o terceiro pivô fica zero, então temos apenas dois pivôs. Portanto, o posto é 2.
Passo 7
Agora, vamos resumir:
Para : O posto de é 3.
Para ou : O posto de é 2.
Passo 8
Vamos encontrar uma base do espaço coluna de k 1 1 , k-1 0 1-k , 1 k k . Isso significa selecionar colunas de k 1 1 , k-1 0 1-k que são linearmente independentes.
Para : Como o posto é 3, precisamos de 3 colunas independentes. Podemos escolher, por exemplo, as primeiras três colunas de :
Para ou : O posto é 2, então precisamos de 2 colunas independentes. Podemos escolher, por exemplo, as primeiras duas colunas:
Passo 9
Agora, vamos encontrar uma base do espaço linha de k & k-1 & 1 & -1 & k , 1 & 0 & k & -1 & k , 1 & 1-k & k & -k & 1 . Isso significa selecionar linhas de k & k-1 & 1 & -1 & k , 1 & 0 & k & -1 & k que são linearmente independentes.
Para : O posto é 3, então todas as três linhas são independentes. Portanto, uma base do espaço linha é composta por todas as linhas de :
Para ou : O posto é 2, então apenas duas linhas são independentes. Podemos escolher, por exemplo, as duas primeiras linhas:
Resposta
O posto da matriz k 1 1 , k-1 0 1-k , 1 k k é:
3, para todo k 1 1 , k-1 0 1-k .
2, quando k & k-1 & 1 & -1 & k , 1 & 0 & k & -1 & k , 1 & 1-k & k & -k & 1 ou k & k-1 & 1 & -1 & k , 1 & 0 & k & -1 & k .