Em dependência do parâmetro real k, calcule o posto da matriz
B=(ccccc k & k-1 & 1 & -1 & k 1 & 0 & k & -1 & k 1 & 1-k & k & -k & 1 )
e, em cada caso, encontre uma base do espaço coluna da matriz que consiste de colunas de B e encontre uma base do espacço linha da matriz que consiste de linhas de B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular o posto da matriz dependendo do valor do parâmetro real . Depois, vamos encontrar uma base do espaço coluna e uma base do espaço linha da matriz . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, dependência linear e redução de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Para encontrar o posto, a gente pode reduzir a matriz para a forma escalonada por linhas usando operações elementares e contar quantas linhas não nulas temos.

Passo 3

Vamos começar escrevendo a matriz B = k & k-1 & 1 & -1 & k 1 & 0 & k & -1 & k 1 & 1-k & k & -k & 1 :
Nosso objetivo é reduzir essa matriz para uma forma mais simples e identificar o número de linhas que não ficam todas zero.

Passo 4

Vamos usar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz. Primeiro, vamos usar a primeira linha como pivô para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Subtraindo L2' = L2 - 1kL1 vezes a primeira linha da segunda linha:
L3' = L3 - 1kL1
E subtraindo vezes a primeira linha da terceira linha:
Isso vai simplificar os elementos abaixo do primeiro pivô.

Passo 5

Depois de realizar essas operações, a matriz fica assim:
B' = k & k-1 & 1 & -1 & k 0 & -k+1k & k - 1k & -1 + 1k & k - kk 0 & (1-k) - (1-k)k & k - 1k & -k + 1k & 1 - kk
Simplificando os elementos:
B' = k & k-1 & 1 & -1 & k 0 & -k+1k & k - 1k & -1 + 1k & 0 0 & 0 & k - 1k & -k + 1k & 0

Passo 6

Agora, vamos analisar os pivôs dessa matriz reduzida. O primeiro pivô é . O segundo pivô é , e o terceiro pivô é .
O posto da matriz vai depender dos valores de :
  1. Se , (ou seja, ), então temos três pivôs. Portanto, o posto é 3.
  2. Se , ou seja, , então ou . Nesses casos, o terceiro pivô fica zero, então temos apenas dois pivôs. Portanto, o posto é 2.

Passo 7

Agora, vamos resumir:
  • Para : O posto de é 3.
  • Para ou : O posto de é 2.

Passo 8

Vamos encontrar uma base do espaço coluna de k 1 1 , k-1 0 1-k , 1 k k . Isso significa selecionar colunas de k 1 1 , k-1 0 1-k que são linearmente independentes.
  • Para : Como o posto é 3, precisamos de 3 colunas independentes. Podemos escolher, por exemplo, as primeiras três colunas de :
  • Para ou : O posto é 2, então precisamos de 2 colunas independentes. Podemos escolher, por exemplo, as primeiras duas colunas:

Passo 9

Agora, vamos encontrar uma base do espaço linha de k & k-1 & 1 & -1 & k , 1 & 0 & k & -1 & k , 1 & 1-k & k & -k & 1 . Isso significa selecionar linhas de k & k-1 & 1 & -1 & k , 1 & 0 & k & -1 & k que são linearmente independentes.
  • Para : O posto é 3, então todas as três linhas são independentes. Portanto, uma base do espaço linha é composta por todas as linhas de :
  • Para ou : O posto é 2, então apenas duas linhas são independentes. Podemos escolher, por exemplo, as duas primeiras linhas:

Resposta

O posto da matriz k 1 1 , k-1 0 1-k , 1 k k é:
  • 3, para todo k 1 1 , k-1 0 1-k .
  • 2, quando k & k-1 & 1 & -1 & k , 1 & 0 & k & -1 & k , 1 & 1-k & k & -k & 1 ou k & k-1 & 1 & -1 & k , 1 & 0 & k & -1 & k .
As bases do espaço coluna de são:
  • Para :
  • Para ou :
As bases do espaço linha de são:
  • Para :
  • Para ou :

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