Se
e
são números reais com
, então existe um número irracional
tal que
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos dois números reais,
e
, onde
. O exercício quer que a gente prove que existe pelo menos um número irracional
que está entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são números reais e irracionais, além de entender um pouco sobre como esses números estão distribuídos na reta numérica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são números irracionais. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração exata
, onde
e
são números inteiros e
. Exemplos clássicos de números irracionais são
e
.
Passo 3
Sabemos que entre quaisquer dois números reais há infinitos números racionais e infinitos números irracionais. Isso significa que, se a gente pega qualquer intervalo na reta numérica, como entre
e
, sempre vai ter números irracionais lá dentro.
Passo 4
Para garantir que existe um número irracional entre
e
, podemos usar um método simples. Vamos pensar em uma combinação de
e
que envolva um número irracional. Por exemplo, podemos considerar o número
.
Passo 5
Vamos analisar esse número
. Sabemos que
é positivo porque
. Multiplicando por
, que é irracional, o resultado
também é irracional. Adicionando
, que é racional ou irracional, o total
continuará sendo irracional, pois a soma de um número racional com um irracional é sempre irracional.
Passo 6
Agora, precisamos verificar se
realmente está entre
e
. Observemos que:
Como
, temos:
Ah, percebemos que
acabou ficando maior que
, então precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 7
Vamos tentar outra estratégia. Em vez de multiplicar por
, vamos dividir o intervalo
em partes menores e adicionar uma fração irracional. Por exemplo, podemos escolher
.
Passo 8
Agora, vamos verificar se esse
está entre
e
:
Como
, então:
E, obviamente,
porque estamos adicionando uma quantidade positiva a
. Portanto,
está entre
e
.
Resposta
Existe um número irracional
tal que
.