Mostre que o conjunto dos números naturais não é limitado superiormente.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto dos números naturais (como 1, 2, 3, …) não é limitado superiormente. Isso está relacionado ao estudo dos conjuntos numéricos e suas propriedades, especialmente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser limitado superiormente e como provar que esse não é o caso para os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser limitado superiormente. Um conjunto de números reais é limitado superiormente se existe um número real tal que todos os elementos de são menores ou iguais a . Em outras palavras, é um limite superior para o conjunto .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos números naturais. Suponha, para fins de contradição, que exista um limite superior para os números naturais. Isso significaria que todos os números naturais seriam menores ou iguais a .

Passo 4

Mas sabemos que, se é um número natural, então também é um número natural (porque os naturais são infinitos). E, claro, , o que contraria a afirmação de que é um limite superior.

Passo 5

Como não importa qual número natural você escolha como possível limite superior, sempre podemos encontrar outro número natural maior do que ele. Isso mostra que não existe um número real que seja um limite superior para todo o conjunto dos números naturais.

Resposta

Portanto, o conjunto dos números naturais não é limitado superiormente.

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