Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a) sumn=1^+infty ln nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve conhecimentos de séries infinitas, especialmente sobre convergência absoluta e condicional. Para resolver, vamos analisar o comportamento geral dos termos e aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente ou condicionalmente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos termos também converge. Já é condicionalmente convergente se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não. Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, então a série é divergente.

Passo 3

Vamos analisar a série dos valores absolutos: . Como é positivo para , podemos ignorar o valor absoluto.

Passo 4

Vamos utilizar o Teste da Comparação para verificar a convergência. Sabemos que para grande, cresce mais lentamente que qualquer potência de . Comparando com a série , que converge se , temos que , mas isso não é útil porque a série diverge.

Passo 5

Em vez disso, vamos usar o Teste da Integral. Consideramos a função , que é positiva, contínua e decrescente para . A convergência da série será equivalente à convergência da integral .

Passo 6

Vamos resolver a integral: . Usamos integração por partes, onde e . Então, e .

Passo 7

Aplicando integração por partes:
integral ln xx^2 dx = -ln xx + integral 1x^2 dx = -ln xx - 1x + C
Avaliando de 2 a limb to +infty ( -ln bb - 1b ) - ( -ln 22 - 12 ) = 0 - ( -ln 22 - 12 ) = ln 22 + 12 :
Isso mostra que a integral converge.

Passo 8

Como a integral converge, pelo Teste da Integral, a série também converge. E como consideramos os valores absolutos dos termos e a série converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados