Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve conhecimentos de séries infinitas, especialmente sobre convergência absoluta e condicional. Para resolver, vamos analisar o comportamento geral dos termos e aplicar testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente ou condicionalmente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos termos também converge. Já é condicionalmente convergente se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não. Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, então a série é divergente.
Passo 3
Vamos analisar a série dos valores absolutos: . Como é positivo para , podemos ignorar o valor absoluto.
Passo 4
Vamos utilizar o Teste da Comparação para verificar a convergência. Sabemos que para grande, cresce mais lentamente que qualquer potência de . Comparando com a série , que converge se , temos que , mas isso não é útil porque a série diverge.
Passo 5
Em vez disso, vamos usar o Teste da Integral. Consideramos a função , que é positiva, contínua e decrescente para . A convergência da série será equivalente à convergência da integral .
Passo 6
Vamos resolver a integral: . Usamos integração por partes, onde e . Então, e .
Passo 7
Aplicando integração por partes:
integral ln xx^2 dx = -ln xx + integral 1x^2 dx = -ln xx - 1x + C
Como a integral converge, pelo Teste da Integral, a série também converge. E como consideramos os valores absolutos dos termos e a série converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.