Suponha que f seja uma função duas vezes diferenciável que satisfaça
f(x^2) = f(x) + x^2
Encontre f'(1) e f''(1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que é duas vezes diferenciável e satisfaz a equação . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas primeiras e segundas de no ponto , ou seja, e . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra da cadeia e a diferenciação de funções compostas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação fornecida em relação a . Isso vai nos ajudar a relacionar as derivadas de em diferentes pontos.
A equação dada é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a .

Passo 3

Aplicando a derivada no lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, derivamos termo a termo:
Portanto, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir nessa equação para encontrar .
Substituindo:

Passo 5

Resolvendo para :
Então, descobrimos que .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos diferenciar novamente a equação que obtivemos anteriormente:

Passo 7

Diferenciando ambos os lados em relação a :
No lado esquerdo, aplicamos a regra do produto:
No lado direito:
Então:

Passo 8

Novamente, substituímos nessa equação para encontrar .
Substituindo:

Passo 9

Resolvendo para :

Resposta

e .

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