Suponha que
seja uma função duas vezes diferenciável que satisfaça
Encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
que é duas vezes diferenciável e satisfaz a equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas primeiras e segundas de
no ponto
, ou seja,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra da cadeia e a diferenciação de funções compostas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação fornecida em relação a
. Isso vai nos ajudar a relacionar as derivadas de
em diferentes pontos.
A equação dada é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Aplicando a derivada no lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, derivamos termo a termo:
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir
nessa equação para encontrar
.
Substituindo:
Passo 5
Resolvendo para
:
Então, descobrimos que
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos diferenciar novamente a equação que obtivemos anteriormente:
Passo 7
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo, aplicamos a regra do produto:
No lado direito:
Então:
Passo 8
Novamente, substituímos
nessa equação para encontrar
.
Substituindo:
Passo 9
Resolvendo para
: