Encontre o raio e o intervalo de convergência da série

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o teste da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de um jeito mais simples:
Agora fica mais fácil ver que estamos lidando com uma série de potências na forma , onde .

Passo 3

Para achar o raio de convergência ( ), vamos usar o teste da raiz. A fórmula é:
Isso nos ajuda a descobrir para quais valores de a série vai convergir.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Porque aproxima 1 conforme cresce.

Passo 5

Agora, aplicando o teste da raiz:
Então, o raio de convergência é .

Passo 6

Com o raio encontrado, o intervalo inicial de convergência é . Mas precisamos verificar os pontos nas bordas ( e ) para ver se a série converge nesses valores.

Passo 7

Verificando :
Essa é uma série alternada. Pelo teste de Leibniz, já que os termos em módulo ( ) diminuem e tendem a zero, a série converge condicionalmente.

Passo 8

Verificando :
Essa é a série p com . Sabemos que uma série p diverge se , então essa série não converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Se e são números reais com , então existe um número irracional tal que .
Mostre que o conjunto dos números naturais não é limitado superiormente.
Suponha que seja uma função duas vezes diferenciável que satisfaça
Encontre e .
Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)