Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o teste da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de um jeito mais simples:
Agora fica mais fácil ver que estamos lidando com uma série de potências na forma , onde .
Passo 3
Para achar o raio de convergência (), vamos usar o teste da raiz. A fórmula é:
Isso nos ajuda a descobrir para quais valores de a série vai convergir.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Porque aproxima 1 conforme cresce.
Passo 5
Agora, aplicando o teste da raiz:
Então, o raio de convergência é .
Passo 6
Com o raio encontrado, o intervalo inicial de convergência é . Mas precisamos verificar os pontos nas bordas ( e ) para ver se a série converge nesses valores.
Passo 7
Verificando :
Essa é uma série alternada. Pelo teste de Leibniz, já que os termos em módulo () diminuem e tendem a zero, a série converge condicionalmente.
Passo 8
Verificando :
Essa é a série p com . Sabemos que uma série p diverge se , então essa série não converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .