Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
sumn=1^+infty(-2)^n x^nraizn

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o teste da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de um jeito mais simples:
sumn=1^+infty(-2)^n x^nraizn = sumn=1^+infty (-2x)^nraizn
Agora fica mais fácil ver que estamos lidando com uma série de potências na forma , onde .

Passo 3

Para achar o raio de convergência ( R = 1limsupn to infty |an|^1/n ), vamos usar o teste da raiz. A fórmula é:
Isso nos ajuda a descobrir para quais valores de a série vai convergir.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
limsupn to infty |an|^1/n = limn to infty |(-2)^nraizn|^1/n = limn to infty 2n^1/(2n) = 2
Porque aproxima 1 conforme cresce.

Passo 5

Agora, aplicando o teste da raiz:
R = 12
Então, o raio de convergência é .

Passo 6

Com o raio encontrado, o intervalo inicial de convergência é . Mas precisamos verificar os pontos nas bordas ( e ) para ver se a série converge nesses valores.

Passo 7

Verificando sumn=1^+infty (-2 cdot 12)^nraizn = sumn=1^+infty (-1)^nraizn :
Essa é uma série alternada. Pelo teste de Leibniz, já que os termos em módulo ( ) diminuem e tendem a zero, a série converge condicionalmente.

Passo 8

Verificando sumn=1^+infty (-2 cdot (-12))^nraizn = sumn=1^+infty 1^nraizn = sumn=1^+infty 1raizn :
Essa é a série p com . Sabemos que uma série p diverge se , então essa série não converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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