Se e são números reais com $a

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos dois números reais, e , onde . O exercício quer que a gente prove que existe pelo menos um número irracional que está entre e . Para resolver isso, vamos precisar saber o que são números reais e irracionais, além de entender um pouco sobre como esses números estão distribuídos na reta numérica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números irracionais. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração exata , onde e são números inteiros e . Exemplos clássicos de números irracionais são e .

Passo 3

Sabemos que entre quaisquer dois números reais há infinitos números racionais e infinitos números irracionais. Isso significa que, se a gente pega qualquer intervalo na reta numérica, como entre e , sempre vai ter números irracionais lá dentro.

Passo 4

Para garantir que existe um número irracional entre e , podemos usar um método simples. Vamos pensar em uma combinação de e que envolva um número irracional. Por exemplo, podemos considerar o número .

Passo 5

Vamos analisar esse número . Sabemos que é positivo porque . Multiplicando por , que é irracional, o resultado também é irracional. Adicionando , que é racional ou irracional, o total continuará sendo irracional, pois a soma de um número racional com um irracional é sempre irracional.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se realmente está entre e . Observemos que: Como , temos: Ah, percebemos que acabou ficando maior que , então precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 7

Vamos tentar outra estratégia. Em vez de multiplicar por , vamos dividir o intervalo em partes menores e adicionar uma fração irracional. Por exemplo, podemos escolher .

Passo 8

Agora, vamos verificar se esse está entre e : Como , então: E, obviamente, porque estamos adicionando uma quantidade positiva a . Portanto, está entre e .

Resposta

Existe um número irracional tal que .

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