Se
e
são números reais com
, então existe um número racional
tal que
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de matemática que fala sobre números reais e racionais. O enunciado diz que, se temos dois números reais
e
onde
, então existe um número racional
tal que
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de densidade dos números racionais nos números reais, ou seja, entre qualquer dois números reais, sempre tem pelo menos um número racional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
não é zero.
Passo 3
Agora, como os números racionais são densos nos reais, isso significa que não importa o quão pequenos sejam os intervalos entre
e
, sempre podemos encontrar um número racional nesse intervalo.
Passo 4
Para encontrar esse número racional
, podemos usar a propriedade de densidade. Por exemplo, podemos considerar a média de
e
:
Essa média
está entre
e
. No entanto, para garantir que
seja racional, precisamos ajustar um pouco mais.
Passo 5
Pode-se multiplicar
por um denominador comum para tornar a fração exata. Suponha que
seja um número positivo, então podemos escolher um número natural
grande o suficiente para que
. Então, escolhemos
. Esse
será racional e satisfará
.
Resposta
Existe, de fato, um número racional
tal que
, garantindo que sempre podemos encontrar um número racional entre quaisquer dois números reais
e
onde
.