Se a e b são números reais com a < b, então existe um número racional r tal que a < r < b.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de matemática que fala sobre números reais e racionais. O enunciado diz que, se temos dois números reais e onde , então existe um número racional tal que . Para resolver isso, vamos usar o conceito de densidade dos números racionais nos números reais, ou seja, entre qualquer dois números reais, sempre tem pelo menos um número racional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e não é zero.

Passo 3

Agora, como os números racionais são densos nos reais, isso significa que não importa o quão pequenos sejam os intervalos entre e , sempre podemos encontrar um número racional nesse intervalo.

Passo 4

Para encontrar esse número racional , podemos usar a propriedade de densidade. Por exemplo, podemos considerar a média de e :
Essa média está entre e . No entanto, para garantir que seja racional, precisamos ajustar um pouco mais.

Passo 5

Pode-se multiplicar por um denominador comum para tornar a fração exata. Suponha que seja um número positivo, então podemos escolher um número natural grande o suficiente para que . Então, escolhemos . Esse será racional e satisfará .

Resposta

Existe, de fato, um número racional tal que , garantindo que sempre podemos encontrar um número racional entre quaisquer dois números reais e onde .

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