Vamos começar com a parte a) do exercício. O enunciado pede para mostrar, usando a definição, que:
Aqui, estamos lidando com o conceito de limites de sequências, e vamos precisar usar a definição formal de limite para provar isso.
Passo 2
A definição de limite para uma sequência diz que:
Uma sequência tem limite quando, para todo , existe um número natural tal que para todo , a diferença entre e é menor que . Em termos matemáticos:
Passo 3
Aplicando essa definição ao nosso caso, temos e queremos provar que . Então, precisamos mostrar que para todo , existe um tal que:
Isso simplifica para:
Passo 4
Resolvendo a inequação n > 1epsilon para , obtemos:
Isso significa que se escolhermos como um número natural tal que , então para todo , a condição será satisfeita.
Passo 5
Portanto, sempre que tivermos um forall n > N, 1n < epsilon , podemos escolher como o menor inteiro maior que . Assim, garantimos que:
Isso confirma, segundo a definição, que o limite da sequência quando tende ao infinito é de fato 0.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b) do exercício. Precisamos mostrar, usando a definição, que:
lim n infty 3n + 2n + 1 = 3
Vamos utilizar novamente a definição de limite de uma sequência para provar este resultado.
Passo 7
Usando a definição de limite, queremos provar que para todo | 3n + 2n + 1 - 3 | < epsilon , existe um número natural tal que para todo :
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto: