Mostre, usando a definição, que:
a) lim n infty 1n=0
b) lim n infty 3 n+2n+1=3
c) lim n infty(1-1n)=1

Passo 1

Vamos começar com a parte a) do exercício. O enunciado pede para mostrar, usando a definição, que:
lim n infty 1n=0
Aqui, estamos lidando com o conceito de limites de sequências, e vamos precisar usar a definição formal de limite para provar isso.

Passo 2

A definição de limite para uma sequência diz que:
Uma sequência forall epsilon > 0, exists N in N, tal que n > N Rightarrow |an - L| < epsilon tem limite quando, para todo , existe um número natural tal que para todo , a diferença entre e é menor que . Em termos matemáticos:

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso caso, temos | 1n - 0 | < epsilon e queremos provar que 1n < epsilon . Então, precisamos mostrar que para todo , existe um tal que:
Isso simplifica para:

Passo 4

Resolvendo a inequação n > 1epsilon para , obtemos:
Isso significa que se escolhermos como um número natural tal que , então para todo , a condição será satisfeita.

Passo 5

Portanto, sempre que tivermos um forall n > N, 1n < epsilon , podemos escolher como o menor inteiro maior que . Assim, garantimos que:
Isso confirma, segundo a definição, que o limite da sequência quando tende ao infinito é de fato 0.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b) do exercício. Precisamos mostrar, usando a definição, que:
lim n infty 3n + 2n + 1 = 3
Vamos utilizar novamente a definição de limite de uma sequência para provar este resultado.

Passo 7

Usando a definição de limite, queremos provar que para todo | 3n + 2n + 1 - 3 | < epsilon , existe um número natural tal que para todo :

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
| 3n + 2n + 1 - 3 | = | 3n + 2 - 3(n + 1)n + 1 | = | 3n + 2 - 3n - 3n + 1 | = | -1n + 1 | = 1n + 1
Então, queremos que:
1n + 1 < epsilon

Passo 9

Resolvendo para n + 1 > 1epsilon Rightarrow n > 1epsilon - 1 :
Podemos escolher como o menor inteiro maior que .

Passo 10

Assim, para todo 1n + 1 < epsilon , teremos:
Isso confirma, de acordo com a definição, que o limite da sequência quando tende ao infinito é 3.

Passo 11

Finalmente, vamos abordar a parte c) do exercício. Devemos mostrar, utilizando a definição, que:
lim n infty (1 - 1n) = 1
Novamente, usaremos a definição de limite de sequências para provar este resultado.

Passo 12

Segundo a definição, precisamos provar que para todo | (1 - 1n) - 1 | < epsilon , existe um número natural tal que para todo :

Passo 13

Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
| 1 - 1n - 1 | = | -1n | = 1n
Portanto, queremos que:
1n < epsilon

Passo 14

Resolvendo para n > 1epsilon :
Podemos, então, escolher como o menor inteiro maior que .

Passo 15

Dessa forma, para todo 1n < epsilon , teremos:
Isso confirma, pela definição, que o limite da sequência quando tende ao infinito é 1.

Resposta

lim n infty (1 - 1n) = 1

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