Se a e b são raízes da equação x^2 - p*x + q = 0 (p > 0) e 0 < q ≠ 1, demonstre que:
log_q(a^a) + log_q(b^b) + log_q(a^b) + log_q(b^a) = p

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação quadrática onde e são as raízes dessa equação. O que a gente precisa fazer é provar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre equações quadráticas e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se e são raízes da equação quadrática , então, de acordo com a fórmula de Vieta, temos:
Essa relação será útil para simplificar as expressões que envolvem e .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada termo da expressão que precisamos provar:
Vamos lembrar que uma propriedade dos logaritmos diz que . Vamos aplicar isso em cada termo:

Passo 4

Agora, somando todos esses termos, temos:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Fatorando :

Passo 5

Sabemos que , então substituímos:
Agora, precisamos simplificar . Vamos lembrar que , então podemos usar a propriedade dos logaritmos:
Como , então:
Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

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