Sabendo que e , calcule o valor de . Sugestão: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o valor de sabendo que e . A matéria que vamos usar aqui é principalmente propriedades dos logaritmos e mudança de base. Precisaremos das fórmulas de mudança de base e das propriedades que relacionam logaritmos de diferentes bases.

Passo 2

Vamos começar observando que pode ser reescrito como . Isso já foi dado na sugestão. Então, temos:
Isso vai nos ajudar a simplificar o logaritmo que precisamos calcular.

Passo 3

Agora, vamos expressar usando a definição de logaritmo. Sabemos que:
Aqui, usamos a fórmula de mudança de base, que nos permite reescrever o logaritmo em uma base diferente.

Passo 4

Vamos calcular sabendo que :
Usamos a propriedade do logaritmo que diz que .

Passo 5

Aplicando essa propriedade:
Sabemos que , então .
Além disso, foi dado que .

Passo 6

Substituindo esses valores:
Então, é igual a .

Passo 7

Agora, vamos calcular . Sabemos que pode ser decomposto em , então:
Usamos a propriedade do logaritmo que diz que .

Passo 8

Aplicando essa propriedade:
Foi dado que e .

Passo 9

Substituindo esses valores:
Então, é igual a .

Passo 10

Agora que temos e , podemos voltar à nossa expressão inicial:

Resposta

Portanto, o valor de é .

Exercícios relacionados

Se , determine o valor de em termos de e .
Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos ( e são reais positivos): .
Se e são raízes da equação e , demonstre que:
Calcule caso os limites existam. Justifique.
10.