Sabendo que
e
, calcule o valor de
. Sugestão:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o valor de
sabendo que
e
. A matéria que vamos usar aqui é principalmente propriedades dos logaritmos e mudança de base. Precisaremos das fórmulas de mudança de base e das propriedades que relacionam logaritmos de diferentes bases.
Passo 2
Vamos começar observando que
pode ser reescrito como
. Isso já foi dado na sugestão. Então, temos:
Isso vai nos ajudar a simplificar o logaritmo que precisamos calcular.
Passo 3
Agora, vamos expressar
usando a definição de logaritmo. Sabemos que:
Aqui, usamos a fórmula de mudança de base, que nos permite reescrever o logaritmo em uma base diferente.
Passo 4
Vamos calcular
sabendo que
:
Usamos a propriedade do logaritmo que diz que
.
Passo 5
Aplicando essa propriedade:
Sabemos que
, então
.
Além disso, foi dado que
.
Passo 6
Substituindo esses valores:
Então,
é igual a
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
pode ser decomposto em
, então:
Usamos a propriedade do logaritmo que diz que
.
Passo 8
Aplicando essa propriedade:
Foi dado que
e
.
Passo 9
Substituindo esses valores:
Então,
é igual a
.
Passo 10
Agora que temos
e
, podemos voltar à nossa expressão inicial:
Resposta
Portanto, o valor de
é
.
Exercícios relacionados
Se
, determine o valor de
em termos de
e
.
Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (
e
são reais positivos):
.
Se
e
são raízes da equação
e
, demonstre que:
Calcule caso os limites existam. Justifique.
10.
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