f(x) definida na reta real e a um ponto de seu domínio. Suponha que lim x a f(x)-f(a)x-a= L. Calcule os limites abaixo.
© lim h 0 f(a-h)-f(a)h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função limx to a f(x) - f(a)x - a = L definida na reta real e um ponto limh to 0 f(a - h) - f(a)h no domínio dela. A gente sabe que:
Esse limite é, na verdade, a definição da derivada de em , ou seja, . Agora, precisamos calcular o limite:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos perceber que k = -h está se aproximando de 0, mas está sendo subtraído de limh to 0 f(a - h) - f(a)h = limk to 0 f(a + k) - f(a)-k na função. Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
Quando , também . Agora, substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos reescrever o limite usando essa substituição:
limk to 0 f(a + k) - f(a)-k = -limk to 0 f(a + k) - f(a)k
Perceba que tiramos o sinal negativo para fora do limite.

Passo 4

Sabemos pelo enunciado que:
limk to 0 f(a + k) - f(a)k = L
Portanto, substituindo na expressão anterior:
-limk to 0 f(a + k) - f(a)k = -L

Resposta

limh to 0 f(a - h) - f(a)h = -L

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