Se
e
são raízes da equação
e
, demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação quadrática
onde
e
são as raízes dessa equação. O que a gente precisa fazer é provar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre equações quadráticas e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
e
são raízes da equação quadrática
, então, de acordo com a fórmula de Vieta, temos:
Essa relação será útil para simplificar as expressões que envolvem
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada termo da expressão que precisamos provar:
Vamos lembrar que uma propriedade dos logaritmos diz que
. Vamos aplicar isso em cada termo:
Passo 4
Agora, somando todos esses termos, temos:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Fatorando
:
Passo 5
Sabemos que
, então substituímos:
Agora, precisamos simplificar
. Vamos lembrar que
, então podemos usar a propriedade dos logaritmos:
Como
, então:
Portanto:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
Exercícios relacionados
Sabendo que
e
, calcule o valor de
. Sugestão:
.
Se
, determine o valor de
em termos de
e
.
Calcule caso os limites existam. Justifique.
10.
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