Se e são vetores quaisquer mostre que: (Desigualdade de Schwarz)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para quaisquer vetores e , a desigualdade de Cauchy-Schwarz vale:
Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre produto interno e normas de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que é produto escalar () e a norma dos vetores ( e ).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores pode ser expresso usando o cosseno do ângulo entre eles:
Onde é o ângulo entre e . Isso nos ajuda a relacionar o produto escalar com as normas dos vetores.
Passo 3
Sabendo disso, o valor absoluto do produto escalar fica:
Como o cosseno de qualquer ângulo está entre -1 e 1, seu valor absoluto é no máximo 1: