Se a e b são vetores quaisquer mostre que:
|a cdot b| <=|a||b| (Desigualdade de Schwarz)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para quaisquer vetores a e b, a desigualdade de Cauchy-Schwarz vale:
|a cdot b| <= |a| |b|
Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre produto interno e normas de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que é produto escalar ( a cdot b) e a norma dos vetores ( |a| e |b|).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores pode ser expresso usando o cosseno do ângulo entre eles:
a cdot b = |a| |b| cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre a e b. Isso nos ajuda a relacionar o produto escalar com as normas dos vetores.

Passo 3

Sabendo disso, o valor absoluto do produto escalar fica:
|a cdot b| = ||a| |b| cos(theta)| = |a| |b| |cos(theta)|
Como o cosseno de qualquer ângulo está entre -1 e 1, seu valor absoluto é no máximo 1:
|cos(theta)| <= 1

Passo 4

Então, substituindo na equação anterior:
|a cdot b| <= |a| |b| cdot 1
|a cdot b| <= |a| |b|

Resposta

A desigualdade de Cauchy-Schwarz está comprovada:
|a cdot b| <= |a| |b|

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