Se
e
são vetores quaisquer mostre que:
(Desigualdade de Schwarz)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para quaisquer vetores
e
, a desigualdade de Cauchy-Schwarz vale:
Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre produto interno e normas de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que é produto escalar (
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores pode ser expresso usando o cosseno do ângulo entre eles:
Onde
Passo 3
Sabendo disso, o valor absoluto do produto escalar fica:
Como o cosseno de qualquer ângulo está entre -1 e 1, seu valor absoluto é no máximo 1:
Passo 4
Então, substituindo na equação anterior:
Resposta
A desigualdade de Cauchy-Schwarz está comprovada: