Se e são vetores quaisquer mostre que:
(Desigualdade de Schwarz)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para quaisquer vetores e , a desigualdade de Cauchy-Schwarz vale:

Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre produto interno e normas de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que é produto escalar ( ) e a norma dos vetores ( e ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores pode ser expresso usando o cosseno do ângulo entre eles:

Onde é o ângulo entre e . Isso nos ajuda a relacionar o produto escalar com as normas dos vetores.

Passo 3

Sabendo disso, o valor absoluto do produto escalar fica:

Como o cosseno de qualquer ângulo está entre -1 e 1, seu valor absoluto é no máximo 1:

Passo 4

Então, substituindo na equação anterior:

Resposta

A desigualdade de Cauchy-Schwarz está comprovada:

Exercícios relacionados

Se é um número ímpar, então é ímpar.
  • A junção das duas questões anteriores é a equivalência: é ímpar se e somente se é ímpar.
Verifique se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação e justifique sua resposta: e .
Uma função é dita ímpar se para todo . Se são funções ímpares, então a função produto dada por
é par.
Prove a recíproca do teorema de pitágoras , isto é, prove que se a equação é válida, então e são perpendiculares.