Prove a recíproca do teorema de pitágoras , isto é, prove que se a equação |a|^2+|b|^2=|a+b|^2 é válida, então a e b são perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a recíproca do Teorema de Pitágoras. Ou seja, se a soma dos quadrados das normas (comprimentos) de dois vetores a e b é igual ao quadrado da norma da soma desses vetores, então a e b são perpendiculares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como norma de vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, lembra que a norma de um vetor v, representada por |v|, é o comprimento do vetor. A norma ao quadrado é simplesmente |v|^2 = v cdot v, onde cdot representa o produto escalar entre vetores.

Passo 3

Vamos começar desenvolvendo a expressão dada:
|a|^2 + |b|^2 = |a + b|^2
Substituindo pelas normas ao quadrado em termos de produto escalar:
a cdot a + b cdot b = (a + b) cdot (a + b)

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado direito usando a propriedade distributiva do produto escalar:
(a + b) cdot (a + b) = a cdot a + 2 a cdot b + b cdot b
Comparando com o lado esquerdo:
a cdot a + b cdot b = a cdot a + 2 a cdot b + b cdot b
Podemos subtrair a cdot a + b cdot b de ambos os lados:
0 = 2 a cdot b
Dividindo por 2:
a cdot b = 0

Passo 5

Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isto significa que os vetores são perpendiculares entre si. Portanto, concluímos que a e b são perpendiculares.

Resposta

Se |a|^2 + |b|^2 = |a + b|^2 é válida, então os vetores a e b são perpendiculares.

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