Prove a recíproca do teorema de pitágoras , isto é, prove que se a equação é válida, então e são perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a recíproca do Teorema de Pitágoras. Ou seja, se a soma dos quadrados das normas (comprimentos) de dois vetores e é igual ao quadrado da norma da soma desses vetores, então e são perpendiculares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como norma de vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, lembra que a norma de um vetor , representada por , é o comprimento do vetor. A norma ao quadrado é simplesmente , onde representa o produto escalar entre vetores.

Passo 3

Vamos começar desenvolvendo a expressão dada:
Substituindo pelas normas ao quadrado em termos de produto escalar:

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado direito usando a propriedade distributiva do produto escalar:
Comparando com o lado esquerdo:
Podemos subtrair de ambos os lados:
Dividindo por 2:

Passo 5

Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isto significa que os vetores são perpendiculares entre si. Portanto, concluímos que e são perpendiculares.

Resposta

Se é válida, então os vetores e são perpendiculares.

Exercícios relacionados

Uma função é dita ímpar se para todo . Se são funções ímpares, então a função produto dada por
é par.
Se e são vetores quaisquer mostre que:
(Desigualdade de Schwarz)
Como determinar as componentes de um vetor , com ponto inicial fora da origem? O que isso contribui para o cálculo da distância entre os pontos e ?
Quais as propriedades das operações vetoriais?