Prove a recíproca do teorema de pitágoras , isto é, prove que se a equação é válida, então e são perpendiculares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a recíproca do Teorema de Pitágoras. Ou seja, se a soma dos quadrados das normas (comprimentos) de dois vetores e é igual ao quadrado da norma da soma desses vetores, então e são perpendiculares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como norma de vetores e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, lembra que a norma de um vetor , representada por , é o comprimento do vetor. A norma ao quadrado é simplesmente , onde representa o produto escalar entre vetores.
Passo 3
Vamos começar desenvolvendo a expressão dada:
Substituindo pelas normas ao quadrado em termos de produto escalar:
Passo 4
Agora, vamos expandir o lado direito usando a propriedade distributiva do produto escalar:
Comparando com o lado esquerdo:
Podemos subtrair de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Passo 5
Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isto significa que os vetores são perpendiculares entre si. Portanto, concluímos que e são perpendiculares.
Resposta
Se é válida, então os vetores e são perpendiculares.