Uma função f: R long<=ftrightarrow R é dita ímpar se f(x)=-f(-x) para todo x in R. Se f, g são funções ímpares, então a função produto dada por
(f g)(x)=f(x) g(x)
é par.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que afirma que se e são funções ímpares, então o produto é uma função par. Para isso, vamos usar conceitos de funções ímpares e pares, e como elas se comportam quando combinadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções ímpares e pares:
  • Função ímpar: Uma função f(-x) = -f(x) e g(-x) = -g(x) é ímpar se, para todo no seu domínio, .
  • Função par: Uma função é par se, para todo no seu domínio, .
Como sabemos que e são funções ímpares, temos:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que o produto h(-x) = h(x) é uma função par. Para isso, vamos verificar a definição de função par para h(-x) = f(-x) g(-x) :
h(-x) = (-f(x)) cdot (-g(x)) = f(x) g(x)
Vamos calcular :
Substituindo as expressões de e :

Passo 4

Observamos que:
h(-x) = f(x) g(x) = h(x)
Isso satisfaz a condição de que , o que significa que é uma função par.

Resposta

Portanto, se e são funções ímpares, o produto é uma função par.

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