Uma função é dita ímpar se para todo . Se são funções ímpares, então a função produto dada por
é par.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que afirma que se e são funções ímpares, então o produto é uma função par. Para isso, vamos usar conceitos de funções ímpares e pares, e como elas se comportam quando combinadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções ímpares e pares:
  • Função ímpar: Uma função é ímpar se, para todo no seu domínio, .
  • Função par: Uma função é par se, para todo no seu domínio, .
Como sabemos que e são funções ímpares, temos:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que o produto é uma função par. Para isso, vamos verificar a definição de função par para :
Vamos calcular :
Substituindo as expressões de e :

Passo 4

Observamos que:
Isso satisfaz a condição de que , o que significa que é uma função par.

Resposta

Portanto, se e são funções ímpares, o produto é uma função par.

Exercícios relacionados

Se e são vetores quaisquer mostre que:
(Desigualdade de Schwarz)
Se é um número ímpar, então é ímpar.
  • A junção das duas questões anteriores é a equivalência: é ímpar se e somente se é ímpar.
Prove a recíproca do teorema de pitágoras , isto é, prove que se a equação é válida, então e são perpendiculares.
Como determinar as componentes de um vetor , com ponto inicial fora da origem? O que isso contribui para o cálculo da distância entre os pontos e ?