A junção das duas questões anteriores é a equivalência: é ímpar se e somente se é ímpar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que se é um número ímpar, então também é ímpar. E também nos fala que é ímpar se e somente se é ímpar. Isso envolve o conteúdo de números pares e ímpares, e vamos precisar entender como eles se comportam quando são elevados ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que se é ímpar, então é ímpar. Para isso, vamos pensar no contrário. Suponha que seja par. Sabemos que um número par pode ser escrito como , onde é um inteiro.
Passo 3
Agora, vamos calcular :
Perceba que é múltiplo de 2, ou seja, é par. Mas isso contraria a nossa hipótese de que é ímpar. Então, nossa suposição de que é par está errada. Logo, se é ímpar, deve ser ímpar.
Passo 4
Agora, vamos provar o outro sentido: se é ímpar, então é ímpar. Se é ímpar, podemos escrever , onde é um inteiro.
Passo 5
Vamos calcular :
Aqui, vemos que é igual a duas vezes um inteiro mais 1, o que significa que é ímpar.
Resposta
Portanto, mostramos que é ímpar se e somente se é ímpar. Ou seja, é ímpar se e somente se é ímpar.