Se é um número ímpar, então é ímpar.
  • A junção das duas questões anteriores é a equivalência: é ímpar se e somente se é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que se é um número ímpar, então também é ímpar. E também nos fala que é ímpar se e somente se é ímpar. Isso envolve o conteúdo de números pares e ímpares, e vamos precisar entender como eles se comportam quando são elevados ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que se é ímpar, então é ímpar. Para isso, vamos pensar no contrário. Suponha que seja par. Sabemos que um número par pode ser escrito como , onde é um inteiro.

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Perceba que é múltiplo de 2, ou seja, é par. Mas isso contraria a nossa hipótese de que é ímpar. Então, nossa suposição de que é par está errada. Logo, se é ímpar, deve ser ímpar.

Passo 4

Agora, vamos provar o outro sentido: se é ímpar, então é ímpar. Se é ímpar, podemos escrever , onde é um inteiro.

Passo 5

Vamos calcular :
Aqui, vemos que é igual a duas vezes um inteiro mais 1, o que significa que é ímpar.

Resposta

Portanto, mostramos que é ímpar se e somente se é ímpar. Ou seja, é ímpar se e somente se é ímpar.

Exercícios relacionados

Verifique se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação e justifique sua resposta: e .
Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
e) Se é uma função par, então é uma função par.
Se e são vetores quaisquer mostre que:
(Desigualdade de Schwarz)
Uma função é dita ímpar se para todo . Se são funções ímpares, então a função produto dada por
é par.