Se
é um número ímpar, então
é ímpar.
- A junção das duas questões anteriores é a equivalência:
é ímpar se e somente se
é ímpar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que se
é um número ímpar, então
também é ímpar. E também nos fala que
é ímpar se e somente se
é ímpar. Isso envolve o conteúdo de números pares e ímpares, e vamos precisar entender como eles se comportam quando são elevados ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que se
é ímpar, então
é ímpar. Para isso, vamos pensar no contrário. Suponha que
seja par. Sabemos que um número par pode ser escrito como
, onde
é um inteiro.
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Perceba que
é múltiplo de 2, ou seja,
é par. Mas isso contraria a nossa hipótese de que
é ímpar. Então, nossa suposição de que
é par está errada. Logo, se
é ímpar,
deve ser ímpar.
Passo 4
Agora, vamos provar o outro sentido: se
é ímpar, então
é ímpar. Se
é ímpar, podemos escrever
, onde
é um inteiro.
Passo 5
Vamos calcular
:
Aqui, vemos que
é igual a duas vezes um inteiro mais 1, o que significa que
é ímpar.
Resposta
Portanto, mostramos que
é ímpar se e somente se
é ímpar. Ou seja,
é ímpar se e somente se
é ímpar.