Se n^2 é um número ímpar, então n é ímpar.
  • A junção das duas questões anteriores é a equivalência: n é ímpar se e somente se n^2 é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que se n^2 é um número ímpar, então n também é ímpar. E também nos fala que n é ímpar se e somente se n^2 é ímpar. Isso envolve o conteúdo de números pares e ímpares, e vamos precisar entender como eles se comportam quando são elevados ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que se n^2 é ímpar, então n é ímpar. Para isso, vamos pensar no contrário. Suponha que n seja par. Sabemos que um número par pode ser escrito como n = 2k, onde k é um inteiro.

Passo 3

Agora, vamos calcular n^2:
n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)
Perceba que n^2 é múltiplo de 2, ou seja, n^2 é par. Mas isso contraria a nossa hipótese de que n^2 é ímpar. Então, nossa suposição de que n é par está errada. Logo, se n^2 é ímpar, n deve ser ímpar.

Passo 4

Agora, vamos provar o outro sentido: se n é ímpar, então n^2 é ímpar. Se n é ímpar, podemos escrever n = 2k + 1, onde k é um inteiro.

Passo 5

Vamos calcular n^2:
n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1
Aqui, vemos que n^2 é igual a duas vezes um inteiro mais 1, o que significa que n^2 é ímpar.

Resposta

Portanto, mostramos que n^2 é ímpar se e somente se n é ímpar. Ou seja, n é ímpar se e somente se n^2 é ímpar.

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