(b)
Seja
a região limitada abaixo pelo cone
, acima pelo plano
. Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de
, usando as ordens de integração a seguir.
Seja
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar o volume da região
que está abaixo do cone
e acima do plano
. Vamos resolver isso usando integrais triplas em coordenadas esféricas, especificamente na ordem
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três parâmetros:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo no plano xy, também chamado de azimute) e
(o ângulo em relação ao eixo z, chamado de polar).
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para cada uma dessas coordenadas na região
:
-
Para
: O cone em coordenadas esféricas se traduz para . Isso porque, usando as relações e , temos , ou seja, . -
Para
: O plano em coordenadas esféricas fica , portanto . -
Para
: Como estamos girando ao redor do eixo z, varia de 0 a .
Passo 4
Com esses limites, vamos montar a integral tripla na ordem
:
-
: De 0 a . -
: De 0 a . -
: De 0 a .
Passo 5
A função que usamos para calcular o volume em coordenadas esféricas é
. Então, a integral tripla fica assim:
Resposta
A integral tripla que representa o volume de
na ordem
é:
Exercícios relacionados
Dê os limites de integração para calcular a integral
como uma integral iterada sobre a região que é limitada abaixo pelo plano
, do lado pelo cilindro
e acima pelo paraboloide
.
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
em
;
Converta a integral
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e avalie o resultado.
Uma curva de equação
é chamada astróide. Calcule a área da região delimitada pela astróide obtida quando
.