(b)
Seja a região limitada abaixo pelo cone , acima pelo plano . Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de , usando as ordens de integração a seguir.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o volume da região que está abaixo do cone e acima do plano . Vamos resolver isso usando integrais triplas em coordenadas esféricas, especificamente na ordem .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três parâmetros: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano xy, também chamado de azimute) e (o ângulo em relação ao eixo z, chamado de polar).

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para cada uma dessas coordenadas na região :
  • Para : O cone em coordenadas esféricas se traduz para . Isso porque, usando as relações e , temos , ou seja, .
  • Para : O plano em coordenadas esféricas fica , portanto .
  • Para : Como estamos girando ao redor do eixo z, varia de 0 a .

Passo 4

Com esses limites, vamos montar a integral tripla na ordem :
  1. : De 0 a .
  2. : De 0 a .
  3. : De 0 a .

Passo 5

A função que usamos para calcular o volume em coordenadas esféricas é . Então, a integral tripla fica assim:

Resposta

A integral tripla que representa o volume de na ordem é:

Exercícios relacionados

Dê os limites de integração para calcular a integral
como uma integral iterada sobre a região que é limitada abaixo pelo plano , do lado pelo cilindro e acima pelo paraboloide .
Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: em ;
Converta a integral
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e avalie o resultado.
Uma curva de equação é chamada astróide. Calcule a área da região delimitada pela astróide obtida quando .