Uma curva de equação é chamada astróide. Calcule a área da região delimitada pela astróide obtida quando .

Passo 1

Beleza, temos uma curva chamada astróide com a equação . Queremos descobrir a área da região que essa curva delimita quando . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a equação da astróide para facilitar os cálculos. A parametrização de uma astróide geralmente é dada por:
Aqui, é o parâmetro que varia de a , e é uma constante que define o tamanho da astróide.

Passo 3

Agora, vamos usar uma fórmula de cálculo para encontrar a área de uma curva parametrizada. A fórmula para a área é:
Vamos calcular e :

Passo 4

Substituindo , , e na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos:
Fatorando:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Vamos resolver a integral . Usando identidades trigonométricas:
Então,
Sabemos que:
Portanto,

Resposta

Quando , a área delimitada pela astróide é:
á

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Converta a integral
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e avalie o resultado.
(b)
Seja a região limitada abaixo pelo cone , acima pelo plano . Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de , usando as ordens de integração a seguir.
Represente graficamente o arco cujo comprimento é calculado pela integral
(a)
Seja a região limitada abaixo pelo cone , acima pelo plano . Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de , usando as ordens de integração a seguir.