Uma curva de equação
é chamada astróide. Calcule a área da região delimitada pela astróide obtida quando
.
Passo 1
Beleza, temos uma curva chamada astróide com a equação
. Queremos descobrir a área da região que essa curva delimita quando
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a equação da astróide para facilitar os cálculos. A parametrização de uma astróide geralmente é dada por:
Aqui,
é o parâmetro que varia de
a
, e
é uma constante que define o tamanho da astróide.
Passo 3
Agora, vamos usar uma fórmula de cálculo para encontrar a área de uma curva parametrizada. A fórmula para a área
é:
Vamos calcular
e
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos:
Fatorando:
Como
, simplificamos para:
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Usando identidades trigonométricas:
Então,
Sabemos que:
Portanto,
Resposta
Quando
, a área delimitada pela astróide é:
Exercícios relacionados
Converta a integral
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e avalie o resultado.
(b)
Seja a região limitada abaixo pelo cone
, acima pelo plano
. Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de
, usando as ordens de integração a seguir.
Seja
Represente graficamente o arco cujo comprimento é calculado pela integral
(a)
Seja a região limitada abaixo pelo cone
, acima pelo plano
. Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de
, usando as ordens de integração a seguir.
Seja