Dê os limites de integração para calcular a integral
como uma integral iterada sobre a região que é limitada abaixo pelo plano , do lado pelo cilindro e acima pelo paraboloide .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de cálculo integral usando coordenadas cilíndricas. O enunciado pede para determinar os limites de integração para uma integral tripla da forma:
Vamos precisar entender como a região está limitada: de baixo pelo plano , de lado pelo cilindro e de cima pelo paraboloide . Para isso, vamos dividir a resolução em passos para deixar tudo bem clarinho!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites para . A região está limitada abaixo por e acima por . Isso significa que, para cada ponto , o valor de vai de 0 até . Então, nossos limites para são:

Passo 3

Agora, vamos olhar para os limites de e . A limitação lateral é dada pelo cilindro . Vamos entender o que isso significa.
O cilindro corresponde à equação , que no caso de um cilindro, define uma superfície vertical. Para encontrar os limites de e , precisamos descobrir onde essa superfície se encontra dentro do sistema de coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Vamos determinar os valores de . Observando o cilindro , percebemos que ele está relacionado ao eixo . Para cobrir toda a circunferência, varia de 0 a . Portanto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os limites para . A limitação lateral nos indica até onde pode ir para cada ângulo . Para determinar isso, precisamos resolver a equação do cilindro para :
Como é a equação do cilindro, isolamos :
No entanto, isso indica que pode variar de 0 até o ponto onde o cilindro se encontra com o paraboloide . Para simplificar, consideramos que varia de 0 até um valor máximo que define a interseção dessas superfícies.

Passo 6

Na verdade, para determinar o limite superior de , precisamos observar onde o cilindro e o paraboloide se encontram. Igualando com :
Resolvendo para :
Então, o limite superior para é .

Resposta

Os limites de integração são:

Exercícios relacionados

Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: em ;
(1)
As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios de (1) a (3).
(b)
Seja a região limitada abaixo pelo cone , acima pelo plano . Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de , usando as ordens de integração a seguir.
Converta a integral
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e avalie o resultado.