Dê os limites de integração para calcular a integral
integral tripla f(r, theta, z) d z r d r d theta
como uma integral iterada sobre a região que é limitada abaixo pelo plano z=0, do lado pelo cilindro r cos theta e acima pelo paraboloide z=3 r^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de cálculo integral usando coordenadas cilíndricas. O enunciado pede para determinar os limites de integração para uma integral tripla da forma:
integral tripla f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta
Vamos precisar entender como a região está limitada: de baixo pelo plano , de lado pelo cilindro e de cima pelo paraboloide . Para isso, vamos dividir a resolução em passos para deixar tudo bem clarinho!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites para 0 <= z <= 3r^2 . A região está limitada abaixo por e acima por . Isso significa que, para cada ponto , o valor de vai de 0 até . Então, nossos limites para são:

Passo 3

Agora, vamos olhar para os limites de e . A limitação lateral é dada pelo cilindro . Vamos entender o que isso significa.
O cilindro corresponde à equação , que no caso de um cilindro, define uma superfície vertical. Para encontrar os limites de e , precisamos descobrir onde essa superfície se encontra dentro do sistema de coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Vamos determinar os valores de 0 <= theta <= 2pi . Observando o cilindro , percebemos que ele está relacionado ao eixo . Para cobrir toda a circunferência, varia de 0 a . Portanto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os limites para r = r cos thetacos theta = r . A limitação lateral nos indica até onde pode ir para cada ângulo . Para determinar isso, precisamos resolver a equação do cilindro para :
Como é a equação do cilindro, isolamos :
No entanto, isso indica que pode variar de 0 até o ponto onde o cilindro se encontra com o paraboloide . Para simplificar, consideramos que varia de 0 até um valor máximo que define a interseção dessas superfícies.

Passo 6

Na verdade, para determinar o limite superior de z = r cos theta = 3r^2 , precisamos observar onde o cilindro e o paraboloide se encontram. Igualando 3r^2 = r cos theta 3r = cos theta r = cos theta3 com :
Resolvendo para :
Então, o limite superior para é .

Resposta

Os limites de integração são:
0 <= theta <= 2pi 0 <= r <= cos theta3 0 <= z <= 3r^2

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