Dê os limites de integração para calcular a integral
como uma integral iterada sobre a região que é limitada abaixo pelo plano
, do lado pelo cilindro
e acima pelo paraboloide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de cálculo integral usando coordenadas cilíndricas. O enunciado pede para determinar os limites de integração para uma integral tripla da forma:
Vamos precisar entender como a região está limitada: de baixo pelo plano
, de lado pelo cilindro
e de cima pelo paraboloide
. Para isso, vamos dividir a resolução em passos para deixar tudo bem clarinho!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites para
. A região está limitada abaixo por
e acima por
. Isso significa que, para cada ponto
, o valor de
vai de 0 até
. Então, nossos limites para
são:
Passo 3
Agora, vamos olhar para os limites de
e
. A limitação lateral é dada pelo cilindro
. Vamos entender o que isso significa.
O cilindro
corresponde à equação
, que no caso de um cilindro, define uma superfície vertical. Para encontrar os limites de
e
, precisamos descobrir onde essa superfície se encontra dentro do sistema de coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Vamos determinar os valores de
. Observando o cilindro
, percebemos que ele está relacionado ao eixo
. Para cobrir toda a circunferência,
varia de 0 a
. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os limites para
. A limitação lateral
nos indica até onde
pode ir para cada ângulo
. Para determinar isso, precisamos resolver a equação do cilindro para
:
Como
é a equação do cilindro, isolamos
:
No entanto, isso indica que
pode variar de 0 até o ponto onde o cilindro se encontra com o paraboloide
. Para simplificar, consideramos que
varia de 0 até um valor máximo que define a interseção dessas superfícies.
Passo 6
Na verdade, para determinar o limite superior de
, precisamos observar onde o cilindro e o paraboloide se encontram. Igualando
com
:
Resolvendo para
:
Então, o limite superior para
é
.
Resposta
Os limites de integração são:
Exercícios relacionados
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
em
;
(1)
As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios de (1) a (3).
As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios de (1) a (3).
(b)
Seja a região limitada abaixo pelo cone
, acima pelo plano
. Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de
, usando as ordens de integração a seguir.
Seja
Converta a integral
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e avalie o resultado.