Converta a integral
integral-1^1 integral0^raiz1-y^2 integral0^x(x^2+y^2) d z d x d y
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e avalie o resultado.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
integral-1^1 integral0^raiz1 - y^2 integral0^x (x^2 + y^2) , dz , dx , dy
O objetivo é converter essa integral para coordenadas cilíndricas e calcular seu valor. Para isso, vamos precisar conhecer a relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas e a fórmula para o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Vamos lembrar que nas coordenadas cilíndricas, as variáveis são , e , onde:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

Agora, precisamos identificar os limites de integração para , e na nova coordenada.
O enunciado original tem variando de -1 a 1 e variando de 0 a . Isso descreve um semicírculo no plano , com raio 1, onde .
Em coordenadas cilíndricas, isso corresponde a variando de 0 a 1 e variando de a para cobrir todo o semicírculo à direita do eixo .
O limite para é de 0 a , que em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Vamos reescrever a função integranda x^2 + y^2 = (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2 em termos de coordenadas cilíndricas:
Então, a função integranda simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral em coordenadas cilíndricas:
integral-pi2^pi2 integral0^1 integral0^r cos theta r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, é a função integranda e vem do elemento de volume.

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
integral-pi2^pi2 integral0^1 integral0^r cos theta r^3 , dz , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integral0^r cos theta r^3 , dz = r^3 z |0^r cos theta = r^3 (r cos theta) = r^4 cos theta :

Passo 7

Substituímos essa expressão na integral e integramos em relação a integral-pi2^pi2 integral0^1 r^4 cos theta , dr , dtheta :
integral0^1 r^4 , dr = r^55 |0^1 = 15
Integrando em 15 integral-pi2^pi2 cos theta , dtheta :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a integral-pi2^pi2 cos theta , dtheta = sin theta |-pi2^pi2 = sin(pi2) - sin(-pi2) = 1 - (-1) = 2 :

Resposta

Multiplicando pelo fator fora da integral:
15 times 2 = 25
Portanto, o valor da integral é .

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