em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e avalie o resultado.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
O objetivo é converter essa integral para coordenadas cilíndricas e calcular seu valor. Para isso, vamos precisar conhecer a relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas e a fórmula para o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Vamos lembrar que nas coordenadas cilíndricas, as variáveis são , e , onde:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .
Passo 3
Agora, precisamos identificar os limites de integração para , e na nova coordenada.
O enunciado original tem variando de -1 a 1 e variando de 0 a . Isso descreve um semicírculo no plano , com raio 1, onde .
Em coordenadas cilíndricas, isso corresponde a variando de 0 a 1 e variando de a para cobrir todo o semicírculo à direita do eixo .
O limite para é de 0 a , que em coordenadas cilíndricas é .
Passo 4
Vamos reescrever a função integranda em termos de coordenadas cilíndricas:
Então, a função integranda simplifica para .
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, é a função integranda e vem do elemento de volume.
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 7
Substituímos essa expressão na integral e integramos em relação a :