Converta a integral
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e avalie o resultado.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
O objetivo é converter essa integral para coordenadas cilíndricas e calcular seu valor. Para isso, vamos precisar conhecer a relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas e a fórmula para o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Vamos lembrar que nas coordenadas cilíndricas, as variáveis são , e , onde:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

Agora, precisamos identificar os limites de integração para , e na nova coordenada.
O enunciado original tem variando de -1 a 1 e variando de 0 a . Isso descreve um semicírculo no plano , com raio 1, onde .
Em coordenadas cilíndricas, isso corresponde a variando de 0 a 1 e variando de a para cobrir todo o semicírculo à direita do eixo .
O limite para é de 0 a , que em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Vamos reescrever a função integranda em termos de coordenadas cilíndricas:
Então, a função integranda simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, é a função integranda e vem do elemento de volume.

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Substituímos essa expressão na integral e integramos em relação a :
Integrando em :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

Multiplicando pelo fator fora da integral:
Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

(b)
Seja a região limitada abaixo pelo cone , acima pelo plano . Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de , usando as ordens de integração a seguir.
Dê os limites de integração para calcular a integral
como uma integral iterada sobre a região que é limitada abaixo pelo plano , do lado pelo cilindro e acima pelo paraboloide .
Uma curva de equação é chamada astróide. Calcule a área da região delimitada pela astróide obtida quando .
Represente graficamente o arco cujo comprimento é calculado pela integral