(b) Seja g dada por g(x) = 1, se x < 0 e g(x) = x, se x >= 0. Mostre que g é descontínua em 0 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função definida por:
é descontínua em 0. Estamos trabalhando com o conceito de continuidade de uma função e vamos precisar entender os limites laterais e o valor da função no ponto em questão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definido: Ou seja, a função tem um valor em .
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função é descontínua no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar isso para no ponto .
  1. Valor da função em 0:
Isso porque, para , , então .
  1. Limite quando se aproxima de 0 por valores menores que 0 (limite à esquerda):
Aqui, quando se aproxima de 0 vindo da esquerda (valores negativos), sempre é 1.
  1. Limite quando se aproxima de 0 por valores maiores ou iguais a 0 (limite à direita):
Quando se aproxima de 0 vindo da direita (valores positivos), , então o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos verificar se o limite geral existe. Para isso, os limites à esquerda e à direita devem ser iguais.
  • Limite à esquerda: 1
  • Limite à direita: 0
Como , o limite geral de quando se aproxima de 0 não existe.

Passo 5

Finalmente, vamos verificar a terceira condição da continuidade. Mesmo que o limite geral não exista, vamos comparar com os limites laterais.
Como os limites laterais não são iguais, e nem são iguais ao valor da função em 0, a função não é contínua em 0.

Resposta

A função é descontínua em 0 porque o limite à esquerda é 1, o limite à direita é 0, e esses limites não coincidem com o valor da função em 0.

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