(b) Seja
dada por
, se
e
, se
. Mostre que
é descontínua em 0 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função
definida por:
é descontínua em 0. Estamos trabalhando com o conceito de continuidade de uma função e vamos precisar entender os limites laterais e o valor da função no ponto em questão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
-
está definido: Ou seja, a função tem um valor em . - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função é descontínua no ponto
.
Passo 3
Vamos aplicar isso para
no ponto
.
- Valor da função em 0:
Isso porque, para
,
, então
.
- Limite quando
se aproxima de 0 por valores menores que 0 (limite à esquerda):
Aqui, quando
se aproxima de 0 vindo da esquerda (valores negativos),
sempre é 1.
- Limite quando
se aproxima de 0 por valores maiores ou iguais a 0 (limite à direita):
Quando
se aproxima de 0 vindo da direita (valores positivos),
, então o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos verificar se o limite geral existe. Para isso, os limites à esquerda e à direita devem ser iguais.
- Limite à esquerda: 1
- Limite à direita: 0
Como
, o limite geral de
quando
se aproxima de 0 não existe.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar a terceira condição da continuidade. Mesmo que o limite geral não exista, vamos comparar
com os limites laterais.
Como os limites laterais não são iguais, e nem são iguais ao valor da função em 0, a função
não é contínua em 0.
Resposta
A função
é descontínua em 0 porque o limite à esquerda é 1, o limite à direita é 0, e esses limites não coincidem com o valor da função em 0.