Para cada função
abaixo, determine todos os valores de
para os quais
é contínua.
;
Passo 1
Vamos lá! Você quer descobrir para quais valores de
a função
é contínua. Isso está relacionado ao estudo da continuidade de funções, especificamente de funções racionais. Nosso objetivo é identificar onde a função pode não ser contínua, ou seja, onde o denominador se torna zero e a função não está definida.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma função racional como
é contínua em todos os pontos onde o denominador
não é zero. Então, precisamos encontrar os valores de
que fazem o denominador
igual a zero.
Passo 3
Vamos resolver a equação
. Para isso, tentamos encontrar as raízes dessa equação. Uma forma prática é testar alguns valores de
para ver se satisfazem a equação.
Tentando
:
Tentando
:
Tentando
:
Então,
é uma raiz da equação.
Passo 4
Agora que sabemos que
é uma raiz, podemos fatorar o polinômio
usando a divisão polinomial ou fatoração direta.
Fatorando:
Agora, vamos fatorar
:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 5
Para que a função
seja contínua, o denominador não pode ser zero. Assim, as restrições são:
Passo 6
Concluindo, a função
está contínua para todos os valores de
exceto quando o denominador é zero. Ou seja, não é contínua para
,
e
.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
exceto
,
e
.
Exercícios relacionados
Nos itens a seguir determine as assíntotas horizontais de cada função dada.
(b) Seja
dada por
, se
e
, se
. Mostre que
é descontínua em 0 .
Para cada função
abaixo, determine todos os valores de
para os quais
é contínua.
Determine os intervalos nos quais a função dada é contínua.
(a) ;
(a)