(b) Sejam e pontos distintos no espaço tridimensional. Mostre que se o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular ao vetor , então os pontos e estão em um mesmo plano, ou seja, o ponto pertence ao único plano que contém os pontos e (caso estes pontos não sejam colineares).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre quatro pontos diferentes no espaço tridimensional: , , e . A gente precisa mostrar que, se o produto vetorial for perpendicular ao vetor , então esses quatro pontos estão todos no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, produto vetorial e perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. Então, é um vetor perpendicular ao plano formado pelos vetores e , ou seja, perpendicular ao plano que contém os pontos , e .
Passo 3
Agora, sabemos que é perpendicular ao vetor pelo enunciado. Quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero. Então, temos:
Passo 4
Vamos lembrar de uma propriedade importante dos vetores: se o produto escalar de um vetor normal a um plano com outro vetor é zero, isso significa que o segundo vetor está no plano. No nosso caso, é um vetor normal ao plano , e como o produto escalar com é zero, isso indica que está no plano .
Passo 5
Se está no plano , então o ponto também está nesse plano. Isso quer dizer que todos os quatro pontos , , e estão no mesmo plano, desde que , e não estejam todos na mesma linha (ou seja, não são colineares).
Resposta
Portanto, mostramos que se é perpendicular a , então os pontos , , e estão todos no mesmo plano.