Sejam alpha e beta números reais tais que alpha(1,2)+beta(3,5)=0. Encontre os valores para alpha e beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os valores de alpha e beta que, quando multiplicamos pelos vetores (1,2) e (3,5) respectivamente e somamos, o resultado dá o vetor zero. Isso é um lance de álgebra linear, onde vamos montar um sistema de equações para resolver essas incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa alpha(1,2) + beta(3,5) = 0. Isso quer dizer que:
alpha cdot 1 + beta cdot 3 = 0 (para a primeira coordenada)
alpha cdot 2 + beta cdot 5 = 0 (para a segunda coordenada)
Aqui, estamos separando as coordenadas x e y para formar duas equações.

Passo 3

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
alpha + 3beta = 0 2alpha + 5beta = 0
Nosso objetivo é encontrar os valores de alpha e beta que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos tentar eliminar uma das variáveis. Vou multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar:
2alpha + 6beta = 0
Agora temos:
2alpha + 6beta = 0 2alpha + 5beta = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(2alpha + 6beta) - (2alpha + 5beta) = 0 - 0 Rightarrow beta = 0

Passo 5

Agora que sabemos que beta = 0, substituímos esse valor na primeira equação original:
alpha + 3(0) = 0 Rightarrow alpha = 0
Então, ambos os valores são zero.

Resposta

alpha = 0 e beta = 0

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