Sejam e números reais tais que . Encontre os valores para e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os valores de e que, quando multiplicamos pelos vetores e respectivamente e somamos, o resultado dá o vetor zero. Isso é um lance de álgebra linear, onde vamos montar um sistema de equações para resolver essas incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que:
Aqui, estamos separando as coordenadas x e y para formar duas equações.

Passo 3

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos tentar eliminar uma das variáveis. Vou multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar:
Agora temos:
Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 5

Agora que sabemos que , substituímos esse valor na primeira equação original:
Então, ambos os valores são zero.

Resposta

e

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(b) Sejam e pontos distintos no espaço tridimensional. Mostre que se o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular ao vetor , então os pontos e estão em um mesmo plano, ou seja, o ponto pertence ao único plano que contém os pontos e (caso estes pontos não sejam colineares).
(a) Por três pontos não colineares e do espaço passa um único plano. Mostre que este plano coincide com o único plano que contém o ponto e é perpendicular à direção do vetor , obtido pelo produto vetorial dos vetores e .
Demonstre que se e são vetores quaisquer, então
Classifique cada afirmação em Verdadeiro ou Falso (se falso, mostre por meio de exemplo; se verdadeiro, prove.
(b) Se , e então .