Sejam e números reais tais que . Encontre os valores para e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os valores de e que, quando multiplicamos pelos vetores e respectivamente e somamos, o resultado dá o vetor zero. Isso é um lance de álgebra linear, onde vamos montar um sistema de equações para resolver essas incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que:
Aqui, estamos separando as coordenadas x e y para formar duas equações.
Passo 3
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos tentar eliminar uma das variáveis. Vou multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar:
Agora temos:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 5
Agora que sabemos que , substituímos esse valor na primeira equação original: