Mostre que e são vértices de um triângulo retângulo. Em qual vértice está o ângulo reto?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que os pontos , e são vértices de um triângulo retângulo. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Precisamos calcular as distâncias entre cada par de pontos e verificar se alguma combinação satisfaz o Teorema de Pitágoras, que nos ajudará a identificar o ângulo reto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando esta fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos e :

Passo 4

Por fim, vamos calcular a distância entre os pontos e :

Passo 5

Agora que temos as três distâncias, vamos verificar qual combinação satisfaz o Teorema de Pitágoras ( ), onde é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto).
Verificando:
Isso confirma que o triângulo formado pelos pontos , e é um triângulo retângulo, onde os lados de comprimento 1 são os catetos e o lado de comprimento é a hipotenusa.

Resposta

Os pontos , e formam um triângulo retângulo, e o ângulo reto está no vértice .

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(a) Se 20 contas são enviadas em um dia pela companhia, qual a probabilidade de que menos de 3 sejam pagas em atraso?
(b) se 150 contas são enviadas mensalmente para a comunidade, encontre a probabilidade de que 17 ou mais sejam pagas com atraso.

(R:(a) 0,6769 (exata) e 0,6443 (aprox. normal) (b) 0,3306 (exata) e 0,3409 (aprox. normal) )

Sejam e vetores do espaço tais que
onde representa o ângulo entre e . Determine coeficientes e reais de modo que o vetor satisfaça simultaneamente:
(a) Por três pontos não colineares e do espaço passa um único plano. Mostre que este plano coincide com o único plano que contém o ponto e é perpendicular à direção do vetor , obtido pelo produto vetorial dos vetores e .
(b) Sejam e pontos distintos no espaço tridimensional. Mostre que se o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular ao vetor , então os pontos e estão em um mesmo plano, ou seja, o ponto pertence ao único plano que contém os pontos e (caso estes pontos não sejam colineares).