Mostre que (1,1,1),(1,1,0) e (0,1,0) são vértices de um triângulo retângulo. Em qual vértice está o ângulo reto?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que os pontos , e são vértices de um triângulo retângulo. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Precisamos calcular as distâncias entre cada par de pontos e verificar se alguma combinação satisfaz o Teorema de Pitágoras, que nos ajudará a identificar o ângulo reto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e dAB = raiz(1-1)^2 + (1-1)^2 + (0-1)^2 = raiz0 + 0 + 1 = 1 . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando esta fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos dBC = raiz(0-1)^2 + (1-1)^2 + (0-0)^2 = raiz1 + 0 + 0 = 1 e :

Passo 4

Por fim, vamos calcular a distância entre os pontos dAC = raiz(0-1)^2 + (1-1)^2 + (0-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2 e :

Passo 5

Agora que temos as três distâncias, vamos verificar qual combinação satisfaz o Teorema de Pitágoras ( 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 = (raiz2)^2 ), onde é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto).
Verificando:
Isso confirma que o triângulo formado pelos pontos , e é um triângulo retângulo, onde os lados de comprimento 1 são os catetos e o lado de comprimento é a hipotenusa.

Resposta

Os pontos , e formam um triângulo retângulo, e o ângulo reto está no vértice .

Exercícios relacionados