(a) Por três pontos não colineares e do espaço passa um único plano. Mostre que este plano coincide com o único plano que contém o ponto e é perpendicular à direção do vetor , obtido pelo produto vetorial dos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três pontos não colineares , e no espaço. Quando três pontos não estão na mesma linha (não são colineares), eles definem um único plano. O que a gente precisa mostrar aqui é que esse plano é o mesmo que contém o ponto e é perpendicular à direção do vetor , que é o produto vetorial dos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o produto vetorial de dois vetores, como , resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. Ou seja, é perpendicular ao plano formado por , e .
Passo 3
Agora, sabemos que a equação geral de um plano pode ser escrita como:
Onde:
é o vetor normal ao plano,
é um vetor posição qualquer no plano,
é o vetor posição de um ponto conhecido no plano (neste caso, o ponto ).
Passo 4
No nosso caso, o vetor normal é exatamente , já que ele é perpendicular ao plano formado por , e . E será o vetor posição do ponto .
Passo 5
Substituindo na equação do plano, temos:
Isso significa que qualquer ponto que satisfaça essa equação está no mesmo plano definido por , e , e esse plano é perpendicular ao vetor .
Passo 6
Portanto, mostramos que o plano que contém os pontos , e é o mesmo que contém o ponto e é perpendicular à direção do vetor . Assim, os dois planos coincidem.
Resposta
O plano que contém os pontos , e coincide com o único plano que contém o ponto e é perpendicular à direção do vetor .