Demonstre que se a e b são vetores quaisquer, então |a times b|^2=|ll a cdot a & a cdot b a cdot b & b cdot b |

Passo 1

Beleza, vamos resolver isso juntos! O exercício nos pede para mostrar que, para quaisquer vetores e , o quadrado do módulo do produto vetorial é igual ao determinante da matriz formada pelos produtos escalares , e . Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial, o produto escalar e o determinante de uma matriz 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 = ( a2b3 - a3b2 ) i - ( a1b3 - a3b1 ) j + ( a1b2 - a2b1 ) k e |a times b| = raiz(a2b3 - a3b2)^2 + (a3b1 - a1b3)^2 + (a1b2 - a2b1)^2 . Se |a times b|^2 = (a2b3 - a3b2)^2 + (a3b1 - a1b3)^2 + (a1b2 - a2b1)^2 e , então:
O módulo desse produto vetorial é:
Como estamos trabalhando com o quadrado do módulo, podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, vamos lembrar do produto escalar. Para os mesmos vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e a cdot a = a1^2 + a2^2 + a3^2 b cdot b = b1^2 + b2^2 + b3^2 , temos:
E também:

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz fornecida no enunciado:
| ll a cdot a & a cdot b a cdot b & b cdot b | = (a cdot a)(b cdot b) - (a cdot b)^2
Substituindo os valores que calculamos:
= (a1^2 + a2^2 + a3^2)(b1^2 + b2^2 + b3^2) - (a1b1 + a2b2 + a3b3)^2

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que:
|a times b|^2 = (a cdot a)(b cdot b) - (a cdot b)^2
Para isso, vamos expandir o lado esquerdo:
|a times b|^2 = (a2b3 - a3b2)^2 + (a3b1 - a1b3)^2 + (a1b2 - a2b1)^2
Expandindo cada termo:
= a2^2b3^2 - 2a2a3b2b3 + a3^2b2^2 + a3^2b1^2 - 2a1a3b1b3 + a1^2b3^2 + a1^2b2^2 - 2a1a2b1b2 + a2^2b1^2
Agora, vamos reorganizar e agrupar os termos:
= a1^2b2^2 + a1^2b3^2 + a2^2b1^2 + a2^2b3^2 + a3^2b1^2 + a3^2b2^2 - 2a1a2b1b2 - 2a1a3b1b3 - 2a2a3b2b3

Passo 6

Agora, vamos expandir o lado direito da equação que queremos provar:
(a cdot a)(b cdot b) = (a1^2 + a2^2 + a3^2)(b1^2 + b2^2 + b3^2)
Expandindo:
= a1^2b1^2 + a1^2b2^2 + a1^2b3^2 + a2^2b1^2 + a2^2b2^2 + a2^2b3^2 + a3^2b1^2 + a3^2b2^2 + a3^2b3^2
E subtraindo - (a1b1 + a2b2 + a3b3)^2 = - (a1^2b1^2 + a2^2b2^2 + a3^2b3^2 + 2a1a2b1b2 + 2a1a3b1b3 + 2a2a3b2b3) :
(a cdot a)(b cdot b) - (a cdot b)^2 = a1^2b2^2 + a1^2b3^2 + a2^2b1^2 + a2^2b3^2 + a3^2b1^2 + a3^2b2^2 - 2a1a2b1b2 - 2a1a3b1b3 - 2a2a3b2b3
Agora, juntando tudo:
|a times b|^2 = (a cdot a)(b cdot b) - (a cdot b)^2
Observamos que as duas expressões que obtivemos no Passo 5 e Passo 6 são idênticas. Portanto:

Resposta

Demonstramos que:
|a times b|^2 = | ll a cdot a & a cdot b a cdot b & b cdot b |

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