Demonstre que se e são vetores quaisquer, então

Passo 1

Beleza, vamos resolver isso juntos! O exercício nos pede para mostrar que, para quaisquer vetores e , o quadrado do módulo do produto vetorial é igual ao determinante da matriz formada pelos produtos escalares , e . Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial, o produto escalar e o determinante de uma matriz 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores e . Se e , então:
O módulo desse produto vetorial é:
Como estamos trabalhando com o quadrado do módulo, podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, vamos lembrar do produto escalar. Para os mesmos vetores e , temos:
E também:

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz fornecida no enunciado:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que:
Para isso, vamos expandir o lado esquerdo:
Expandindo cada termo:
Agora, vamos reorganizar e agrupar os termos:

Passo 6

Agora, vamos expandir o lado direito da equação que queremos provar:
Expandindo:
E subtraindo :
Agora, juntando tudo:
Observamos que as duas expressões que obtivemos no Passo 5 e Passo 6 são idênticas. Portanto:

Resposta

Demonstramos que:

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Sejam e números reais tais que . Encontre os valores para e .
(b) Sejam e pontos distintos no espaço tridimensional. Mostre que se o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular ao vetor , então os pontos e estão em um mesmo plano, ou seja, o ponto pertence ao único plano que contém os pontos e (caso estes pontos não sejam colineares).
Classifique cada afirmação em Verdadeiro ou Falso (se falso, mostre por meio de exemplo; se verdadeiro, prove.
(b) Se , e então .
Calcule os produtos . quando .