Beleza, vamos resolver isso juntos! O exercício nos pede para mostrar que, para quaisquer vetores e , o quadrado do módulo do produto vetorial é igual ao determinante da matriz formada pelos produtos escalares , e . Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial, o produto escalar e o determinante de uma matriz 2x2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores e . Se e , então:
O módulo desse produto vetorial é:
Como estamos trabalhando com o quadrado do módulo, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do produto escalar. Para os mesmos vetores e , temos:
E também:
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz fornecida no enunciado:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que:
Para isso, vamos expandir o lado esquerdo:
Expandindo cada termo:
Agora, vamos reorganizar e agrupar os termos:
Passo 6
Agora, vamos expandir o lado direito da equação que queremos provar:
Expandindo:
E subtraindo :
Agora, juntando tudo:
Observamos que as duas expressões que obtivemos no Passo 5 e Passo 6 são idênticas. Portanto: