Beleza, vamos resolver isso juntos! O exercício nos pede para mostrar que, para quaisquer vetores e , o quadrado do módulo do produto vetorial é igual ao determinante da matriz formada pelos produtos escalares , e . Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial, o produto escalar e o determinante de uma matriz 2x2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 = ( a2b3 - a3b2 ) i - ( a1b3 - a3b1 ) j + ( a1b2 - a2b1 ) k e |a times b| = raiz(a2b3 - a3b2)^2 + (a3b1 - a1b3)^2 + (a1b2 - a2b1)^2 . Se |a times b|^2 = (a2b3 - a3b2)^2 + (a3b1 - a1b3)^2 + (a1b2 - a2b1)^2 e , então:
O módulo desse produto vetorial é:
Como estamos trabalhando com o quadrado do módulo, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do produto escalar. Para os mesmos vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e a cdot a = a1^2 + a2^2 + a3^2 b cdot b = b1^2 + b2^2 + b3^2 , temos:
E também:
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz fornecida no enunciado:
| ll a cdot a & a cdot b a cdot b & b cdot b | = (a cdot a)(b cdot b) - (a cdot b)^2