(b) Sejam e subespaços de . Determine uma base e a dimensão de e .
Passo 1
Então, vamos lá! O problema que temos aqui envolve encontrar bases e dimensões de alguns subespaços dentro de . Especificamente, estamos trabalhando com os subespaços , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, bases e dimensões, além de operações entre subespaços como soma e interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . O subespaço é definido por todos os vetores em onde . Isso significa que qualquer vetor em tem a forma .
Para encontrar uma base para , precisamos encontrar um conjunto de vetores que sejam linearesmente independentes e que gerem todo o subespaço . Observamos que podemos escrever qualquer vetor em como uma combinação linear de e . Ou seja:
Portanto, uma base para é .
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Então, como temos 2 vetores na base de , a dimensão de é 2.
Passo 3
Agora, vamos para . O subespaço é gerado pelos vetores e . Para encontrar uma base para , precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e verificamos o determinante ou se um pode ser escrito como múltiplo do outro. Vemos que:
Não é possível expressar um vetor como múltiplo do outro, portanto eles são linearmente independentes. Assim, a base de é .
A dimensão de também é 2, já que temos 2 vetores na sua base.
Passo 4
Agora, vamos determinar , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor em e um vetor em . Para encontrar uma base para , combinamos as bases de e :
Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Montando a matriz:
A posto dessa matriz é 3, o que significa que apenas 3 desses vetores são linearmente independentes. Podemos escolher, por exemplo, , e como base para .
Portanto, uma base para é e a dimensão é 3.
Passo 5
Por fim, vamos encontrar , que é o conjunto de todos os vetores que pertencem tanto a quanto a . Ou seja, queremos vetores que satisfazem e que também podem ser escritos como combinação linear dos vetores em .
Vamos supor que existe um vetor em , então:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação para : .
Substituindo na segunda: .
E na terceira: .
Portanto, os vetores em têm a forma , onde é um número real. Podemos escrever isso como: