Encontre uma solução não-trivial para o sistema homogêneo
e , a partir daí, obtenha uma combinação linear nula dos vetores v1=(1,2,3), v2=(2,1,-2), v3=(3,1,1), v4=(4,-1,2), na qual os coeficientes não são todos iguais a zero, ou seja, conclua que estes vetores são L.D…
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações homogêneo com quatro variáveis:
l x + 2y + 3z + 4w = 0 2x + y + z - w = 0 3x - 2y + z - 2w = 0
O objetivo é encontrar uma solução não-trivial para esse sistema, ou seja, encontrar valores para , , e que não sejam todos zero e que satisfaçam todas as equações. Depois, a partir dessa solução, vamos mostrar que os vetores , , e são linearmente dependentes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações lineares, matrizes e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial A = 1 & 2 & 3 & 4 2 & 1 & 1 & -1 3 & -2 & 1 & -2 , x = x y z w , 0 = 0 0 0 , onde é a matriz dos coeficientes e :
Nosso objetivo �� encontrar soluções para que não sejam todas zero.
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz 1 & 2 & 3 & 4 2 & 1 & 1 & -1 3 & -2 & 1 & -2 a uma forma mais simples (escada). Vamos fazer operações nas linhas para eliminar variáveis progressivamente.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
1 & 2 & 3 & 4 0 & -3 & -5 & -9 0 & -8 & -8 & -14
Em seguida, eliminamos o das linhas 2 e 3. Para a linha 2, fazemos :
\ \ \
Para a linha 3, fazemos :
\ \ \
Agora a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda linha multiplicando por 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 53 & 3 0 & -8 & -8 & -14 para facilitar os cálculos:
1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 53 & 3 0 & 0 & 163 & 10
Em seguida, eliminamos o da terceira linha usando a segunda linha. Fazemos :
\ \
A matriz agora é:
Passo 5
Agora, podemos expressar as variáveis em termos de 163z + 10w = 0 Rightarrow z = -10163w = -3016w = -158w , já que temos um sistema com mais variáveis do que equações, indicando que existe uma solução não-trivial. Vamos resolver de baixo para cima.
Da terceira linha:
y + 53z + 3w = 0 Rightarrow y = -53z - 3w Substituindo (z = -158w):
Da segunda linha:
y = -53 times (-158w) - 3w = 7524w - 3w = 7524w - 7224w = 324w = 18w
Da primeira linha:
x + 2y + 3z + 4w = 0 Rightarrow x = -2y - 3z - 4w Substituindo (y = 18w) e (z = -158w):
Passo 6
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de x = 118t y = 18t z = -158t w = t . Podemos escolher como parâmetro livre. Vamos definir , onde é um número real qualquer.
Então:
Isso significa que qualquer múltiplo de satisfaz o sistema original, e como pode ser diferente de zero, temos uma solução não-trivial.
Passo 7
Com essa solução, podemos escrever a combinação linear dos vetores 118v1 + 18v2 - 158v3 + 1v4 = 0 , 11v1 + 1v2 - 15v3 + 8v4 = 0 , e que resulta no vetor zero, usando os coeficientes encontrados:
Multiplicando todos os termos por 8 para simplificar:
Isso mostra que existe uma combinação linear dos vetores onde os coeficientes não são todos zero que resulta no vetor nulo, ou seja, os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
A solução não-trivial do sistema é , , , e livre. Além disso, os vetores , , e são linearmente dependentes, já que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo.