Para cada um dos conjuntos S subset V, onde V é o espaço vetorial indicado, encontre o subespaço [S] gerado por S.
© S=1, t, t^2, 1+t^3 ; V=P3(R).

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto dentro do espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Nosso objetivo aqui é encontrar o subespaço gerado por . Para isso, vamos precisar entender o que significa gerar um subespaço e como trabalhar com combinações lineares de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o subespaço gerado por um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é composto por todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, é o conjunto de todos os polinômios que podemos obter multiplicando cada polinômio de por um escalar e somando os resultados.

Passo 3

Vamos expressar isso matematicamente. Seja p(t) = a cdot 1 + b cdot t + c cdot t^2 + d cdot (1 + t^3) números reais quaisquer. Então, qualquer polinômio em pode ser escrito como:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Distribuindo o p(t) = a + b t + c t^2 + d + d t^3 no último termo:
p(t) = (a + d) + b t + c t^2 + d t^3
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Observamos que é um polinômio geral de grau no máximo 3, com coeficientes que são combinações lineares de . Isso significa que inclui todos os polinômios em , já que podemos escolher para obter qualquer coeficiente desejado para .

Passo 6

Para confirmar que , precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Se forem, então é uma base para , e realmente gera todo o espaço.

Passo 7

Vamos montar uma matriz com os coeficientes dos polinômios em 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 :
Calculando o determinante dessa matriz, vemos que ele é diferente de zero, o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

O subespaço gerado por em é todo o espaço .

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