Para cada um dos conjuntos , onde é o espaço vetorial indicado, encontre o subespaço gerado por .
© .

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto dentro do espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Nosso objetivo aqui é encontrar o subespaço gerado por . Para isso, vamos precisar entender o que significa gerar um subespaço e como trabalhar com combinações lineares de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o subespaço gerado por um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é composto por todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, é o conjunto de todos os polinômios que podemos obter multiplicando cada polinômio de por um escalar e somando os resultados.

Passo 3

Vamos expressar isso matematicamente. Seja números reais quaisquer. Então, qualquer polinômio em pode ser escrito como:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Distribuindo o no último termo:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Observamos que é um polinômio geral de grau no máximo 3, com coeficientes que são combinações lineares de . Isso significa que inclui todos os polinômios em , já que podemos escolher para obter qualquer coeficiente desejado para .

Passo 6

Para confirmar que , precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Se forem, então é uma base para , e realmente gera todo o espaço.

Passo 7

Vamos montar uma matriz com os coeficientes dos polinômios em :
Calculando o determinante dessa matriz, vemos que ele é diferente de zero, o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

O subespaço gerado por em é todo o espaço .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, encontre os subespaços e , onde e são subespaços do espaço vetorial indicado.
© .
Considere as matrizes Calcular .
Encontre uma solução não-trivial para o sistema homogêneo
e , a partir daí, obtenha uma combinação linear nula dos vetores , na qual os coeficientes não são todos iguais a zero, ou seja, conclua que estes vetores são L.D…
(b) Sejam e subespaços de . Determine uma base e a dimensão de e .