Então, a gente tem um conjunto dentro do espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Nosso objetivo aqui é encontrar o subespaço gerado por . Para isso, vamos precisar entender o que significa gerar um subespaço e como trabalhar com combinações lineares de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o subespaço gerado por um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é composto por todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, é o conjunto de todos os polinômios que podemos obter multiplicando cada polinômio de por um escalar e somando os resultados.
Passo 3
Vamos expressar isso matematicamente. Seja números reais quaisquer. Então, qualquer polinômio em pode ser escrito como:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Distribuindo o no último termo:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Observamos que é um polinômio geral de grau no máximo 3, com coeficientes que são combinações lineares de . Isso significa que inclui todos os polinômios em , já que podemos escolher para obter qualquer coeficiente desejado para .
Passo 6
Para confirmar que , precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Se forem, então é uma base para , e realmente gera todo o espaço.
Passo 7
Vamos montar uma matriz com os coeficientes dos polinômios em :
Calculando o determinante dessa matriz, vemos que ele é diferente de zero, o que confirma que os polinômios são linearmente independentes.