Nos problemas de
a
são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
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,
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o conjunto
com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar definidas assim:
Nos querem saber se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se todas as regras (ou axiomas) que definem um espaço vetorial são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Eles são como as regras do jogo que precisamos seguir para termos um espaço vetorial. Aqui estão eles:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero
tal que - Elemento inverso da adição: Para cada vetor
, existe um vetor tal que - Compatibilidade da multiplicação escalar:
- Elemento neutro da multiplicação escalar:
- Distribuição da multiplicação escalar em relação à adição de vetores:
- Distribuição da multiplicação escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
1. Comutatividade da adição:
A adição está definida como
.
Vamos ver:
Então, a comutatividade está satisfeita.
Passo 4
2. Associatividade da adição:
Vamos verificar se
.
Sejam
,
, e
.
Calculando:
Os dois resultados são iguais, então a associatividade está satisfeita.
Passo 5
3. Elemento neutro da adição:
Precisamos encontrar um vetor
tal que
.
Pelo que a adição está definida:
Então, o vetor zero é
, satisfazendo o axioma.
Passo 6
4. Elemento inverso da adição:
Para cada vetor
, precisamos de um vetor
tal que
.
Calculando:
Então, o inverso aditivo existe e é
, satisfazendo o axioma.
Passo 7
5. Compatibilidade da multiplicação escalar:
Precisamos verificar se
.
Vamos calcular ambos os lados para
:
Comparando,
e
a menos que
. Portanto, a compatibilidade não é satisfeita.
Passo 8
6. Elemento neutro da multiplicação escalar:
Precisamos verificar se
.
Calculando:
Isso só será igual a
se
e
, ou seja, se
. Portanto, o elemento neutro da multiplicação escalar não está satisfeito.
Passo 9
7. Distribuição da multiplicação escalar em relação à adição de vetores:
Vamos verificar se
.
Calculando cada lado:
Os dois lados são iguais, então a distribuição está satisfeita.
Passo 10
8. Distribuição da multiplicação escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar se
.
Calculando cada lado:
Os dois lados são iguais, então a distribuição está satisfeita.
Resposta
O conjunto
com as operações dadas não é um espaço vetorial, porque não satisfaz os axiomas de compatibilidade da multiplicação escalar e elemento neutro da multiplicação escalar.
Exercícios relacionados
Quais das seguintes equações nas incógnitas
e
são lineares?
(f)
(f)
(b) Sejam
e
subespaços de
. Determine uma base e a dimensão de
e
.
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) , onde
.
(a)
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os polinômios da forma:
(b) , onde
.
(b)