(b) Sendo F=(P, Q), mostre que partial Qpartial x=partial Ppartial y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, dado um campo vetorial , a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso está relacionado com algumas propriedades de campos vetoriais, como ser conservativo. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender um pouco sobre campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável mostra como essa função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. No nosso caso, temos duas funções e que dependem de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Isso significa derivar em relação a , tratando como uma constante. Da mesma forma, é a derivada de em relação a , tratando como constante.

Passo 4

Para que , as mudanças de em e de em precisam ser iguais. Isso é uma condição famosa conhecida como condição de irrotacionalidade para um campo vetorial, que é uma característica de campos conservativos.

Resposta

Assim, mostramos que , cumprindo a condição necessária para ser um campo vetorial conservativo.

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