(b) Sendo
, mostre que
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, dado um campo vetorial
, a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso está relacionado com algumas propriedades de campos vetoriais, como ser conservativo. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender um pouco sobre campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável mostra como essa função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. No nosso caso, temos duas funções
e
que dependem de
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Isso significa derivar
em relação a
, tratando
como uma constante. Da mesma forma,
é a derivada de
em relação a
, tratando
como constante.
Passo 4
Para que
, as mudanças de
em
e de
em
precisam ser iguais. Isso é uma condição famosa conhecida como condição de irrotacionalidade para um campo vetorial, que é uma característica de campos conservativos.
Resposta
Assim, mostramos que
, cumprindo a condição necessária para
ser um campo vetorial conservativo.