Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.28) não é exata e que é um fator integrante da mesma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que não está em uma forma exata. Nosso objetivo aqui é mostrar que ela realmente não é exata e, em seguida, encontrar um fator integrante, que nesse caso é . A matéria que vamos usar envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos reorganizar a equação para identificar as funções e e, então, verificar se a equação é exata. Se não for, vamos buscar o fator integrante que torna tudo certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de forma que fique na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
A equação que temos é:
Aqui, representa . Vamos reorganizar para identificar e .
Multiplicando tudo por para separar :
Então, temos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais.
Primeiro, calculemos :
Agora, calculemos :

Passo 4

Vamos comparar as duas derivadas parciais que calculamos:
Claramente, , o que significa que a equação diferencial não é exata. Isso confirma a primeira parte do que precisamos mostrar.

Passo 5

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a nova equação se torne exata.
O fator integrante geralmente depende de ou . Vamos assumir que , ou seja, depende apenas de . A condição para que o fator integrante torne a equação exata é:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculemos :
Agora, vamos dividir isso por :

Passo 7

Percebi que a expressão está ficando complicada. Vamos tentar simplificar a condição para o fator integrante . Na prática, para fatores integrantes que dependem apenas de , a condição se simplifica para:
Vamos calcular o lado direito dessa equação.

Passo 8

Vamos calcular:
Simplificando o denominador:
Observando bem, mesmo com simplificações, a expressão ainda é complexa. Isso sugere que talvez haja uma relação mais simples para o fator integrante . De fato, muitas vezes em exercícios dessa natureza, o fator integrante é diretamente dado ou pode ser facilmente observado.

Passo 9

Considerando a dica do exercício, que sugere que é o fator integrante, vamos testar isso.
Multiplicando ambos os lados da equação original por :
Simplificando:
Agora, identificamos as novas funções:

Passo 10

Vamos verificar se a nova equação é exata calculando e .
Primeiro:
Segundo:

Passo 11

Observamos que:
Como , a equação multiplicada pelo fator é exata. Portanto, mostramos que a equação original não é exata, mas ao multiplicá-la por , ela se torna exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata inicialmente, mas ao multiplicá-la pelo fator integrante , ela se torna exata.

Exercícios relacionados

(b) Sendo , mostre que ;
Resolva as equações:
(d) .
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .