Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.28) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que não está em uma forma exata. Nosso objetivo aqui é mostrar que ela realmente não é exata e, em seguida, encontrar um fator integrante, que nesse caso é
. A matéria que vamos usar envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos reorganizar a equação para identificar as funções
e
e, então, verificar se a equação é exata. Se não for, vamos buscar o fator integrante que torna tudo certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de forma que fique na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
A equação que temos é:
Aqui,
representa
. Vamos reorganizar para identificar
e
.
Multiplicando tudo por
para separar
:
Então, temos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se são iguais.
Primeiro, calculemos
:
Agora, calculemos
:
Passo 4
Vamos comparar as duas derivadas parciais que calculamos:
Claramente,
, o que significa que a equação diferencial não é exata. Isso confirma a primeira parte do que precisamos mostrar.
Passo 5
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a nova equação se torne exata.
O fator integrante geralmente depende de
ou
. Vamos assumir que
, ou seja, depende apenas de
. A condição para que o fator integrante torne a equação exata é:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 6
Primeiro, calculemos
:
Agora, vamos dividir isso por
:
Passo 7
Percebi que a expressão está ficando complicada. Vamos tentar simplificar a condição para o fator integrante
. Na prática, para fatores integrantes que dependem apenas de
, a condição se simplifica para:
Vamos calcular o lado direito dessa equação.
Passo 8
Vamos calcular:
Simplificando o denominador:
Observando bem, mesmo com simplificações, a expressão ainda é complexa. Isso sugere que talvez haja uma relação mais simples para o fator integrante
. De fato, muitas vezes em exercícios dessa natureza, o fator integrante é diretamente dado ou pode ser facilmente observado.
Passo 9
Considerando a dica do exercício, que sugere que
é o fator integrante, vamos testar isso.
Multiplicando ambos os lados da equação original por
:
Simplificando:
Agora, identificamos as novas funções:
Passo 10
Vamos verificar se a nova equação é exata calculando
e
.
Primeiro:
Segundo:
Passo 11
Observamos que:
Como
, a equação multiplicada pelo fator
é exata. Portanto, mostramos que a equação original não é exata, mas ao multiplicá-la por
, ela se torna exata.
Resposta
A equação diferencial não é exata inicialmente, mas ao multiplicá-la pelo fator integrante
, ela se torna exata.
Exercícios relacionados
(b) Sendo
, mostre que
;
Resolva as equações:
(d) .
(d)
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.