Resolva as equações:
(d) 2(x y^2 - 1/x^3) + (2 x^2 y - 1/y^2) dy/dx = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Estamos trabalhando com equações diferenciais exatas. Isso significa que a equação pode ser escrita como a derivada de uma função . Para resolver, vamos seguir alguns passos básicos de identificação e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação diferencial exata:
onde:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é realmente exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é de fato exata.

Passo 4

Uma vez confirmada a exatidão, sabemos que existe uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a , tratando como constante:
onde é uma função de que ainda precisamos determinar.

Passo 5

Calculando a integral:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar , usamos a condição que a derivada parcial de em relação a deve ser igual a :
Resolvendo para :
Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :
Como , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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