Estamos trabalhando com equações diferenciais exatas. Isso significa que a equação pode ser escrita como a derivada de uma função . Para resolver, vamos seguir alguns passos básicos de identificação e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação diferencial exata:
onde:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é realmente exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é de fato exata.
Passo 4
Uma vez confirmada a exatidão, sabemos que existe uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a , tratando como constante:
onde é uma função de que ainda precisamos determinar.
Passo 5
Calculando a integral:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar , usamos a condição que a derivada parcial de em relação a deve ser igual a :
Resolvendo para :
Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos na expressão de :
Como , podemos escrever a solução geral da equação diferencial: