Resolva as equações:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Estamos trabalhando com equações diferenciais exatas. Isso significa que a equação pode ser escrita como a derivada de uma função
. Para resolver, vamos seguir alguns passos básicos de identificação e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação diferencial exata:
onde:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é realmente exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é de fato exata.
Passo 4
Uma vez confirmada a exatidão, sabemos que existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função de
que ainda precisamos determinar.
Passo 5
Calculando a integral:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar
, usamos a condição que a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual a
:
Resolvendo para
:
Integrando em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Como
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.