(b) ( ) Uma série de potências
pode convegir em apenas dois valores
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série de potências da forma
e a pergunta é se essa série pode convergir em apenas dois valores de
no conjunto dos números reais (
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é convergência de séries de potências e como funciona o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, uma série de potências é uma soma infinita onde cada termo é da forma
, sendo
os coeficientes e
a variável. A convergência de uma série significa que, ao somarmos todos os seus termos, obtemos um valor finito.
Passo 3
Para séries de potências, existe o conceito de raio de convergência (
), que determina para quais valores de
a série converge. Basicamente:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, a série pode ou não convergir, dependendo da série específica.
Passo 4
Agora, vamos pensar na situação da questão: a série converge em apenas dois valores de
no conjunto dos números reais. Isso significaria que existe um ponto central (digamos,
para simplificar) e dois pontos em que a série converge.
Passo 5
Se a série converge em dois pontos, isso sugere que esses pontos são simétricos em relação ao centro da série. Então, poderíamos ter
e
. Contudo, pelo que sabemos sobre o raio de convergência, se a série converge nesses dois pontos, ela também deve convergir para todos os valores de
que estão entre
e
. Isso significaria que a série não convergiria apenas nesses dois pontos, mas em todo o intervalo entre eles.
Passo 6
Além disso, se
, a série só convergeria no ponto central (
), o que resultaria em apenas um ponto de convergência, não dois. Por outro lado, se
, como expliquei, ela convergeria em um intervalo infinito de pontos.
Resposta
Não, uma série de potências não pode convergir em apenas dois valores reais.