(b) ( ) Uma série de potências sumn=0^+infty an x^n pode convegir em apenas dois valores x in R.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série de potências da forma sumn=0^+infty an x^n e a pergunta é se essa série pode convergir em apenas dois valores de x no conjunto dos números reais ( R). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é convergência de séries de potências e como funciona o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, uma série de potências é uma soma infinita onde cada termo é da forma an x^n, sendo an os coeficientes e x a variável. A convergência de uma série significa que, ao somarmos todos os seus termos, obtemos um valor finito.

Passo 3

Para séries de potências, existe o conceito de raio de convergência ( R), que determina para quais valores de x a série converge. Basicamente:
  • Se |x| < R, a série converge absolutamente.
  • Se |x| > R, a série diverge.
  • Se |x| = R, a série pode ou não convergir, dependendo da série específica.

Passo 4

Agora, vamos pensar na situação da questão: a série converge em apenas dois valores de x no conjunto dos números reais. Isso significaria que existe um ponto central (digamos, x = 0 para simplificar) e dois pontos em que a série converge.

Passo 5

Se a série converge em dois pontos, isso sugere que esses pontos são simétricos em relação ao centro da série. Então, poderíamos ter x = R e x = -R. Contudo, pelo que sabemos sobre o raio de convergência, se a série converge nesses dois pontos, ela também deve convergir para todos os valores de x que estão entre -R e R. Isso significaria que a série não convergiria apenas nesses dois pontos, mas em todo o intervalo entre eles.

Passo 6

Além disso, se R = 0, a série só convergeria no ponto central ( x = 0), o que resultaria em apenas um ponto de convergência, não dois. Por outro lado, se R > 0, como expliquei, ela convergeria em um intervalo infinito de pontos.

Resposta

Não, uma série de potências não pode convergir em apenas dois valores reais.

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