Calcule as derivadas parciais
e
das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso envolve entender como derivar uma função de duas variáveis em relação a cada uma delas e também calcular derivadas de ordem superior.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos
em relação a
.
Passo 3
Derivando
em relação a
:
Aqui, a derivada de
é
, a derivada de
em relação a
é
(já que
é constante), e a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Tratamos
como constante e derivamos
em relação a
.
Passo 5
Derivando
em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Começamos com
, que é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
A derivada de
é
e a derivada de
, sendo
constante, é zero.
Passo 8
Em seguida, calculamos
, que é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 9
Derivando
em relação a
:
A derivada de
é
e a derivada de
, sendo
constante, é zero.
Passo 10
Agora, vamos calcular as derivadas cruzadas
e
. Começamos com
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 11
Derivando
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
.
Passo 12
Finalmente, calculamos
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 13
Derivando
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
.
Resposta
As derivadas parciais são:
As derivadas de segunda ordem são: