Calcule as derivadas parciais fx, fy, fxx, fyy, fxy e f_yx das seguintes funções: f(x, y) = x^3 - x * y + y^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Isso envolve entender como derivar uma função de duas variáveis em relação a cada uma delas e também calcular derivadas de ordem superior.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .

Passo 3

Derivando em relação a :
Aqui, a derivada de é , a derivada de em relação a é (já que é constante), e a derivada de em relação a é zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Tratamos como constante e derivamos em relação a .

Passo 5

Derivando em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é e a derivada de é .

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Começamos com , que é a derivada parcial de em relação a .

Passo 7

Derivando em relação a :
A derivada de é e a derivada de , sendo constante, é zero.

Passo 8

Em seguida, calculamos , que é a derivada parcial de em relação a .

Passo 9

Derivando em relação a :
A derivada de é e a derivada de , sendo constante, é zero.

Passo 10

Agora, vamos calcular as derivadas cruzadas e . Começamos com , que é a derivada de em relação a .

Passo 11

Derivando em relação a :
A derivada de em relação a é .

Passo 12

Finalmente, calculamos , que é a derivada de em relação a .

Passo 13

Derivando em relação a :
A derivada de em relação a é .

Resposta

As derivadas parciais são:
As derivadas de segunda ordem são:

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