(b) A série sumk=1^infty sen^2 k2 k^3
( ) diverge pelo Teste da Divergência
( ) converge pelo Teste da Comparação Direta
( ) é uma série p divergente
( ) converge pelo Teste da Integral
( ) diverge pelo Teste da Razão

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer saber se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação Direta e conhecimentos sobre séries p. Vamos precisar comparar nossa série com uma série que a gente já conhece bem, tipo uma série p, para ver como ela se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da nossa série: . Sabemos que o sempre fica entre 0 e 1, porque o seno de qualquer número é entre -1 e 1, e ao elevar ao quadrado vira entre 0 e 1. Então, .

Passo 3

Isso significa que . Agora, vamos comparar isso com a série .

Passo 4

A série é uma série p com . Sabemos que uma série p converge se . Como 3 é maior que 1, essa série converge.

Passo 5

Como e converge, pelo Teste da Comparação Direta, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Comparação Direta.

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