(a) A série
( ) diverge pelo Teste da Divergência
( ) diverge pelo Teste da Comparação Direta
( ) converge pelo Teste da Comparação Direta
( ) converge pelo Teste da Razão
( ) diverge pelo Teste da Divergência
( ) diverge pelo Teste da Comparação Direta
( ) converge pelo Teste da Comparação Direta
( ) converge pelo Teste da Razão
Passo 1
Aqui temos uma série infinita:
. O assunto principal é análise de séries numéricas, especificamente determinar se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o Teste da Divergência, o Teste da Comparação Direta e o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série quando
tende ao infinito não for zero, a série necessariamente diverge.
Então, vamos calcular:
Sabemos que
cresce mais lentamente que
, então:
Como o limite é zero, o Teste da Divergência não nos dá uma conclusão definitiva. A série pode tanto convergir quanto divergir, então precisamos tentar outro teste.
Passo 3
Vamos agora usar o Teste da Comparação Direta. Nesse teste, comparamos nossa série com outra série que já sabemos se converge ou diverge.
Consideremos a série harmônica:
Sabemos que ela diverge. Agora, comparemos os termos:
Isso porque
é positivo e crescente para
, tornando
maior ou igual a
.
Como a série comparada (
) diverge e nossos termos são maiores ou iguais, pelo Teste da Comparação Direta, concluímos que a série original também diverge.
Resposta
A série diverge pelo Teste da Comparação Direta.