(a) A série sumn=1^infty ln (k)k
( ) diverge pelo Teste da Divergência
( ) diverge pelo Teste da Comparação Direta
( ) converge pelo Teste da Comparação Direta
( ) converge pelo Teste da Razão

Passo 1

Aqui temos uma série infinita: sumk=1^infty ln(k)k. O assunto principal é análise de séries numéricas, especificamente determinar se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o Teste da Divergência, o Teste da Comparação Direta e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série quando limk to infty ln(k)k tende ao infinito não for zero, a série necessariamente diverge.
Então, vamos calcular:
limk to infty ln(k)k = 0
Sabemos que cresce mais lentamente que , então:
Como o limite é zero, o Teste da Divergência não nos dá uma conclusão definitiva. A série pode tanto convergir quanto divergir, então precisamos tentar outro teste.

Passo 3

Vamos agora usar o Teste da Comparação Direta. Nesse teste, comparamos nossa série com outra série que já sabemos se converge ou diverge.
Consideremos a série harmônica:
sumk=1^infty 1k
Sabemos que ela diverge. Agora, comparemos os termos:
ln(k)k >= 1k para todo k >= 3
Isso porque é positivo e crescente para , tornando maior ou igual a .
Como a série comparada ( ) diverge e nossos termos são maiores ou iguais, pelo Teste da Comparação Direta, concluímos que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Comparação Direta.

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