Verifique se a furma é exata e, nus casus afimativos, cetermine un potencial do qual ela deriva.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma forma diferencial dada por
. O objetivo é verificar se essa forma é exata e, se for, encontrar uma função potencial
da qual essa forma deriva, ou seja, tal que
.
Passo 2
Uma forma diferencial
é exata se existir uma função
tal que:
Para que isso aconteça, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais. Ou seja:
Passo 3
Vamos identificar os termos da nossa forma diferencial:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Comparando as derivadas que acabamos de calcular:
Claramente,
, então essa primeira condição já não é satisfeita.
Passo 5
Mesmo assim, para completarmos a verificação, vamos calcular as outras derivadas:
Aqui também temos
, o que mais confirma que a forma não é exata.
Resposta
Como as condições necessárias para a forma ser exata não são atendidas, concluímos que a forma
não é exata.