Verifique se a furma é exata e, nus casus afimativos, cetermine un potencial do qual ela deriva. 2xy^3 dx + x^2y^3 dy + 3x^2yz^2 dz

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma forma diferencial dada por . O objetivo é verificar se essa forma é exata e, se for, encontrar uma função potencial da qual essa forma deriva, ou seja, tal que .

Passo 2

Uma forma diferencial é exata se existir uma função tal que:
Para que isso aconteça, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais. Ou seja:

Passo 3

Vamos identificar os termos da nossa forma diferencial:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Comparando as derivadas que acabamos de calcular:
Claramente, , então essa primeira condição já não é satisfeita.

Passo 5

Mesmo assim, para completarmos a verificação, vamos calcular as outras derivadas:
Aqui também temos , o que mais confirma que a forma não é exata.

Resposta

Como as condições necessárias para a forma ser exata não são atendidas, concluímos que a forma não é exata.

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