1-
sobrejetiva
sobrejetiva
2- BA sobrejetiva
sobrejetiva
3- BA injetiva
injetiva
4 - BA injetiva
injetiva
Prove, ainda, que se
então as quatro implicações são verdadeiras.
2- BA sobrejetiva
3- BA injetiva
4 - BA injetiva
Prove, ainda, que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções e como certas propriedades se comportam quando a gente compõe duas funções
e
. A gente vai ver como a composição
ser sobrejetiva ou injetiva afeta as funções individuais
e
. Além disso, vamos provar que se os conjuntos de partida e chegada de
,
e
são iguais (ou seja,
), essas implicações valem mesmo. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que são funções sobrejetivas e injetivas e como elas se comportam quando a gente compõe funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser sobrejetiva (ou sobre). Uma função
é sobrejetiva se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Ou seja, a função cobre todo o conjunto de chegada.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser injetiva (ou injeção). Uma função
é injetiva se, sempre que
, então
. Isso significa que não há dois elementos diferentes em
que são enviados para o mesmo elemento em
.
Passo 4
Vamos começar com a primeira afirmação:
1- Se
é sobrejetiva, então
é sobrejetiva.
Aqui,
significa a composição das funções
e
, ou seja,
.
Se
é sobrejetiva, então para todo
em
, existe algum
em
tal que
. Isso quer dizer que
.
Como
está em
(porque
), e
, para cada
em
, existe um
em
tal que
. Isso mostra que para todo
em
, existe um
em
com
, ou seja,
é sobrejetiva.
Passo 5
Agora, a segunda afirmação:
2- Se
é sobrejetiva, então
é sobrejetiva.
Mas aqui precisamos ter cuidado. Na verdade, essa afirmação não é verdadeira em geral. A composição
ser sobrejetiva não garante que
seja sobrejetiva. Para que
seja sobrejetiva, todos os elementos de
precisariam ser alcançados por
, mas
sendo sobrejetiva só garante que
atinge todos os elementos de
através de
.
Entretanto, se assumirmos que
, podemos fortalecer a afirmação. Vamos abordar isso na última parte do exercício.
Passo 6
Vamos para a terceira afirmação:
3- Se
é injetiva, então
é injetiva.
Se
é injetiva, então se
, isso implica que
. Ou seja,
somente quando
, mas como
é injetiva, isso força
.
Para que
seja injetiva, precisamos que se
, então
. Supondo que
seja sobrejetiva (o que nem sempre é o caso), a injetividade de
implicaria na injetividade de
. Mas, sem a sobrejetividade de
, não podemos garantir diretamente. Novamente, se
, a implicação se sustenta melhor.
Passo 7
Agora, a quarta afirmação:
4- Se
é injetiva, então
é injetiva.
Se
é injetiva, então
também precisa ser injetiva. Afinal, se
, então
, e como
é injetiva, isso implica
. Portanto,
não pode enviar dois elementos diferentes para o mesmo elemento em
, o que significa que
é injetiva.
Passo 8
Finalmente, vamos provar que se
, então todas as quatro implicações são verdadeiras.
Quando
, as funções
e
são de
para
. Nesse cenário, as propriedades de sobrejetividade e injetividade de
podem ser diretamente relacionadas às propriedades de
e
.
-
sobrejetiva implica sobrejetiva: Como vimos no Passo 4, isso é sempre verdadeiro. -
sobrejetiva implica sobrejetiva: Com , se é sobrejetiva, então precisa cobrir todo , já que também cobre . -
injetiva implica injetiva: Com , a injetividade de força a ser injetiva. -
injetiva implica injetiva: Isso já mostramos no Passo 7, e com , a relação se mantém.
Resposta
Portanto, se
é sobrejetiva, então tanto
quanto
são sobrejetivas. Se
é injetiva, então tanto
quanto
são injetivas. Além disso, quando
, todas essas implicações são verdadeiras.