1- B A sobrejetiva Rightarrow B sobrejetiva
2- BA sobrejetiva Rightarrow A sobrejetiva
3- BA injetiva Rightarrow B injetiva
4 - BA injetiva Rightarrow A injetiva
Prove, ainda, que se E=F=G então as quatro implicações são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções e como certas propriedades se comportam quando a gente compõe duas funções e . A gente vai ver como a composição ser sobrejetiva ou injetiva afeta as funções individuais e . Além disso, vamos provar que se os conjuntos de partida e chegada de , e são iguais (ou seja, ), essas implicações valem mesmo. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que são funções sobrejetivas e injetivas e como elas se comportam quando a gente compõe funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser sobrejetiva (ou sobre). Uma função é sobrejetiva se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, a função cobre todo o conjunto de chegada.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser injetiva (ou injeção). Uma função é injetiva se, sempre que , então . Isso significa que não há dois elementos diferentes em que são enviados para o mesmo elemento em .

Passo 4

Vamos começar com a primeira afirmação:
1- Se é sobrejetiva, então é sobrejetiva.
Aqui, significa a composição das funções e , ou seja, .
Se é sobrejetiva, então para todo em , existe algum em tal que . Isso quer dizer que .
Como está em (porque ), e , para cada em , existe um em tal que . Isso mostra que para todo em , existe um em com , ou seja, é sobrejetiva.

Passo 5

Agora, a segunda afirmação:
2- Se é sobrejetiva, então é sobrejetiva.
Mas aqui precisamos ter cuidado. Na verdade, essa afirmação não é verdadeira em geral. A composição ser sobrejetiva não garante que seja sobrejetiva. Para que seja sobrejetiva, todos os elementos de precisariam ser alcançados por , mas sendo sobrejetiva só garante que atinge todos os elementos de através de .
Entretanto, se assumirmos que , podemos fortalecer a afirmação. Vamos abordar isso na última parte do exercício.

Passo 6

Vamos para a terceira afirmação:
3- Se é injetiva, então é injetiva.
Se é injetiva, então se , isso implica que . Ou seja, somente quando , mas como é injetiva, isso força .
Para que seja injetiva, precisamos que se , então . Supondo que seja sobrejetiva (o que nem sempre é o caso), a injetividade de implicaria na injetividade de . Mas, sem a sobrejetividade de , não podemos garantir diretamente. Novamente, se , a implicação se sustenta melhor.

Passo 7

Agora, a quarta afirmação:
4- Se é injetiva, então é injetiva.
Se é injetiva, então também precisa ser injetiva. Afinal, se , então , e como é injetiva, isso implica . Portanto, não pode enviar dois elementos diferentes para o mesmo elemento em , o que significa que é injetiva.

Passo 8

Finalmente, vamos provar que se , então todas as quatro implicações são verdadeiras.
Quando , as funções e são de para . Nesse cenário, as propriedades de sobrejetividade e injetividade de podem ser diretamente relacionadas às propriedades de e .
  1. sobrejetiva implica sobrejetiva: Como vimos no Passo 4, isso é sempre verdadeiro.
  2. sobrejetiva implica sobrejetiva: Com , se é sobrejetiva, então precisa cobrir todo , já que também cobre .
  3. injetiva implica injetiva: Com , a injetividade de força a ser injetiva.
  4. injetiva implica injetiva: Isso já mostramos no Passo 7, e com , a relação se mantém.

Resposta

Portanto, se é sobrejetiva, então tanto quanto são sobrejetivas. Se é injetiva, então tanto quanto são injetivas. Além disso, quando , todas essas implicações são verdadeiras.

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