1- sobrejetiva sobrejetiva
2- BA sobrejetiva sobrejetiva
3- BA injetiva injetiva
4 - BA injetiva injetiva
Prove, ainda, que se então as quatro implicações são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções e como certas propriedades se comportam quando a gente compõe duas funções e . A gente vai ver como a composição ser sobrejetiva ou injetiva afeta as funções individuais e . Além disso, vamos provar que se os conjuntos de partida e chegada de , e são iguais (ou seja, ), essas implicações valem mesmo. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que são funções sobrejetivas e injetivas e como elas se comportam quando a gente compõe funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser sobrejetiva (ou sobre). Uma função é sobrejetiva se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, a função cobre todo o conjunto de chegada.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser injetiva (ou injeção). Uma função é injetiva se, sempre que , então . Isso significa que não há dois elementos diferentes em que são enviados para o mesmo elemento em .

Passo 4

Vamos começar com a primeira afirmação:
1- Se é sobrejetiva, então é sobrejetiva.
Aqui, significa a composição das funções e , ou seja, .
Se é sobrejetiva, então para todo em , existe algum em tal que . Isso quer dizer que .
Como está em (porque ), e , para cada em , existe um em tal que . Isso mostra que para todo em , existe um em com , ou seja, é sobrejetiva.

Passo 5

Agora, a segunda afirmação:
2- Se é sobrejetiva, então é sobrejetiva.
Mas aqui precisamos ter cuidado. Na verdade, essa afirmação não é verdadeira em geral. A composição ser sobrejetiva não garante que seja sobrejetiva. Para que seja sobrejetiva, todos os elementos de precisariam ser alcançados por , mas sendo sobrejetiva só garante que atinge todos os elementos de através de .
Entretanto, se assumirmos que , podemos fortalecer a afirmação. Vamos abordar isso na última parte do exercício.

Passo 6

Vamos para a terceira afirmação:
3- Se é injetiva, então é injetiva.
Se é injetiva, então se , isso implica que . Ou seja, somente quando , mas como é injetiva, isso força .
Para que seja injetiva, precisamos que se , então . Supondo que seja sobrejetiva (o que nem sempre é o caso), a injetividade de implicaria na injetividade de . Mas, sem a sobrejetividade de , não podemos garantir diretamente. Novamente, se , a implicação se sustenta melhor.

Passo 7

Agora, a quarta afirmação:
4- Se é injetiva, então é injetiva.
Se é injetiva, então também precisa ser injetiva. Afinal, se , então , e como é injetiva, isso implica . Portanto, não pode enviar dois elementos diferentes para o mesmo elemento em , o que significa que é injetiva.

Passo 8

Finalmente, vamos provar que se , então todas as quatro implicações são verdadeiras.
Quando , as funções e são de para . Nesse cenário, as propriedades de sobrejetividade e injetividade de podem ser diretamente relacionadas às propriedades de e .
  1. sobrejetiva implica sobrejetiva: Como vimos no Passo 4, isso é sempre verdadeiro.
  2. sobrejetiva implica sobrejetiva: Com , se é sobrejetiva, então precisa cobrir todo , já que também cobre .
  3. injetiva implica injetiva: Com , a injetividade de força a ser injetiva.
  4. injetiva implica injetiva: Isso já mostramos no Passo 7, e com , a relação se mantém.

Resposta

Portanto, se é sobrejetiva, então tanto quanto são sobrejetivas. Se é injetiva, então tanto quanto são injetivas. Além disso, quando , todas essas implicações são verdadeiras.

Exercícios relacionados

Seja um espaço vetorial definido sobre o corpo dos números reais:
Seja uma transformação linear induzida pela seguinte matriz:
(a) Diga se é injetiva e justifique sua resposta; (2,0 pontos)
(b) Diga se é sobrejetiva e justifique sua resposta; (2,0 pontos)
© Seja uma base para . Forneça uma outra base para ; (2,0 pontos)
(d) Encontre a matriz que induz a mudança da base para a base pontos)
(e) Diga se existe uma transformação inversa tal que , . (2,0 pontos)
Sejam
dois espaços vetoriais, e seja uma transformação linear induzida pela matriz
Pede-se:
  1. O espaço domínio, o espaço contra-domínio, e o espaço imagem da transformação linear T. (2,0 pontos)
  2. As dimensões dos espaços vetoriais do item acima. (2,0 pontos)
  3. Uma base para cada espaço vetorial do item 1. (2,0 pontos)
  4. Mostre que tem inversa pela esquerda (induz um mapeamento injetivo). (3,0 pontos)
  5. Responda se tem inversa pela direita, e justifique sua resposta. ( 1,0 ponto)
Seja o espaço vetorial gerado pelos vetores . Encontre duas bases diferentes para , digamos, e , e forneça as matrizes e de mudança de base para para , respectivamente.
Para cada par de vetores em , ponha . Prove que isto define um produto interno em .