Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por uma matriz específica, e precisamos analisar algumas propriedades dela, como se é injetiva, sobrejetiva, encontrar novas bases para o espaço vetorial e ver se existe uma transformação inversa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de injetividade, sobrejetividade, bases de espaços vetoriais e matrizes de mudança de base. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Verificar se é injetiva
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é injetiva se o único vetor que é mapeado para o vetor zero é o próprio vetor zero. Em termos de matrizes, isso significa que o núcleo (ou kernel) da matriz só contém o vetor zero.
Vamos calcular o núcleo de :
Queremos resolver :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . A terceira equação também confirma isso.
Como o único vetor no núcleo é o vetor zero, é injetiva.
Passo 3
Parte (b): Verificar se é sobrejetiva
Uma transformação linear é sobrejetiva se sua imagem cobre todo o espaço . Para matrizes, isso significa que o posto da matriz é igual à dimensão do espaço .
Vamos calcular o posto de . Observando a matriz:
Podemos notar que a terceira linha é a soma da primeira e da segunda: , , . Isso significa que há uma dependência linear entre as linhas.
Portanto, o posto de é 2. Se tiver dimensão maior que 2, então não é sobrejetiva. Mas como a matriz é 3x3, presumimos que tenha dimensão 3. Logo, não consegue cobrir todo o espaço, então não é sobrejetiva.
Como deve ter uma dimensão maior que 2 (provavelmente 3), mas nossa base tem apenas 2 vetores, parece haver um erro. Supondo que seja de dimensão 2, então podemos escolher, por exemplo:
Esses vetores são lineares independentes e formam uma base para .
Passo 5
Parte (d): Encontrar a matriz de mudança de base de para
A matriz de mudança de base transforma coordenadas de uma base para outra. Se é a matriz que transforma de para , então cada coluna de representa os vetores de expressos na base .
Dado que é a base canônica:
Expressando esses vetores na base :
Portanto, a matriz de mudança de base é:
Passo 6
Parte (e): Verificar se existe uma transformação inversa tal que
Para que exista uma transformação inversa , a transformação precisa ser bijetiva, ou seja, ser injetiva e sobrejetiva.
Já vimos na parte (a) que é injetiva, mas na parte (b) que não é sobrejetiva. Portanto, não é bijetiva e, consequentemente, não possui uma transformação inversa que satisfaça para todo em .
Resposta
(a) Sim, é injetiva porque seu núcleo contém apenas o vetor zero.
(b) Não, não é sobrejetiva porque o posto da matriz é menor que a dimensão de .