Seja U um espaço vetorial definido sobre o corpo dos números reais:
Seja A: U U uma transformação linear induzida pela seguinte matriz:
A=[lll 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 1 & 2 & 0 ]
(a) Diga se A é injetiva e justifique sua resposta; (2,0 pontos)
(b) Diga se A é sobrejetiva e justifique sua resposta; (2,0 pontos)
© Seja B1=[lll1 & 0 & 1]^T,[lll1 & 1 & 2]^T uma base para U. Forneça uma outra base B2 para U ;; (2,0 pontos)
(d) Encontre a matriz que induz a mudança da base B1 para a base B2 ;(2,0 pontos)
(e) Diga se existe uma transformação inversa B: U U tal que B circ A(u)=u, forall u in U. (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por uma matriz específica, e precisamos analisar algumas propriedades dela, como se é injetiva, sobrejetiva, encontrar novas bases para o espaço vetorial e ver se existe uma transformação inversa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de injetividade, sobrejetividade, bases de espaços vetoriais e matrizes de mudança de base. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Verificar se A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 1 & 2 & 0 é injetiva
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é injetiva se o único vetor que é mapeado para o vetor zero é o próprio vetor zero. Em termos de matrizes, isso significa que o núcleo (ou kernel) da matriz x1 + x2 = 0 x2 = 0 x1 + 2x2 = 0 só contém o vetor zero.
Vamos calcular o núcleo de :
Queremos resolver :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . A terceira equação também confirma isso.
Como o único vetor no núcleo é o vetor zero, é injetiva.

Passo 3

Parte (b): Verificar se A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 1 & 2 & 0 é sobrejetiva
Uma transformação linear é sobrejetiva se sua imagem cobre todo o espaço . Para matrizes, isso significa que o posto da matriz é igual à dimensão do espaço .
Vamos calcular o posto de . Observando a matriz:
Podemos notar que a terceira linha é a soma da primeira e da segunda: , , . Isso significa que há uma dependência linear entre as linhas.
Portanto, o posto de é 2. Se tiver dimensão maior que 2, então não é sobrejetiva. Mas como a matriz é 3x3, presumimos que tenha dimensão 3. Logo, não consegue cobrir todo o espaço, então não é sobrejetiva.

Passo 4

Parte ©: Encontrar outra base 1 0 1 para 1 1 2
Temos a base B2 = 1 0 0, 0 1 0 . Queremos encontrar outra base .
Como deve ter uma dimensão maior que 2 (provavelmente 3), mas nossa base tem apenas 2 vetores, parece haver um erro. Supondo que seja de dimensão 2, então podemos escolher, por exemplo:
Esses vetores são lineares independentes e formam uma base para .

Passo 5

Parte (d): Encontrar a matriz de mudança de base de B1 = 1 0 1, 1 1 2 para 1 0 1 = 11 0 0 + 00 1 0 + 10 0 1
A matriz de mudança de base transforma coordenadas de uma base para outra. Se 1 1 2 = 11 0 0 + 10 1 0 + 20 0 1 é a matriz que transforma de P = 1 & 1 0 & 1 1 & 2 para , então cada coluna de representa os vetores de expressos na base .
Dado que é a base canônica:
Expressando esses vetores na base :
Portanto, a matriz de mudança de base é:

Passo 6

Parte (e): Verificar se existe uma transformação inversa tal que
Para que exista uma transformação inversa , a transformação precisa ser bijetiva, ou seja, ser injetiva e sobrejetiva.
Já vimos na parte (a) que é injetiva, mas na parte (b) que não é sobrejetiva. Portanto, não é bijetiva e, consequentemente, não possui uma transformação inversa que satisfaça para todo em .

Resposta

(a) Sim, 1 0 0 é injetiva porque seu núcleo contém apenas o vetor zero.
(b) Não, 0 1 0 não é sobrejetiva porque o posto da matriz 1 & 1 0 & 1 1 & 2 é menor que a dimensão de .
© Uma outra base para é .
(d) A matriz de mudança de base de para é:
(e) Não, não existe tal transformação inversa porque não é bijetiva.

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