Seja um espaço vetorial definido sobre o corpo dos números reais:
Seja uma transformação linear induzida pela seguinte matriz:
(a) Diga se é injetiva e justifique sua resposta; (2,0 pontos)
(b) Diga se é sobrejetiva e justifique sua resposta; (2,0 pontos)
© Seja uma base para . Forneça uma outra base para ; (2,0 pontos)
(d) Encontre a matriz que induz a mudança da base para a base pontos)
(e) Diga se existe uma transformação inversa tal que , . (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por uma matriz específica, e precisamos analisar algumas propriedades dela, como se é injetiva, sobrejetiva, encontrar novas bases para o espaço vetorial e ver se existe uma transformação inversa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de injetividade, sobrejetividade, bases de espaços vetoriais e matrizes de mudança de base. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Verificar se é injetiva
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é injetiva se o único vetor que é mapeado para o vetor zero é o próprio vetor zero. Em termos de matrizes, isso significa que o núcleo (ou kernel) da matriz só contém o vetor zero.
Vamos calcular o núcleo de :
Queremos resolver :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . A terceira equação também confirma isso.
Como o único vetor no núcleo é o vetor zero, é injetiva.

Passo 3

Parte (b): Verificar se é sobrejetiva
Uma transformação linear é sobrejetiva se sua imagem cobre todo o espaço . Para matrizes, isso significa que o posto da matriz é igual à dimensão do espaço .
Vamos calcular o posto de . Observando a matriz:
Podemos notar que a terceira linha é a soma da primeira e da segunda: , , . Isso significa que há uma dependência linear entre as linhas.
Portanto, o posto de é 2. Se tiver dimensão maior que 2, então não é sobrejetiva. Mas como a matriz é 3x3, presumimos que tenha dimensão 3. Logo, não consegue cobrir todo o espaço, então não é sobrejetiva.

Passo 4

Parte ©: Encontrar outra base para
Temos a base . Queremos encontrar outra base .
Como deve ter uma dimensão maior que 2 (provavelmente 3), mas nossa base tem apenas 2 vetores, parece haver um erro. Supondo que seja de dimensão 2, então podemos escolher, por exemplo:
Esses vetores são lineares independentes e formam uma base para .

Passo 5

Parte (d): Encontrar a matriz de mudança de base de para
A matriz de mudança de base transforma coordenadas de uma base para outra. Se é a matriz que transforma de para , então cada coluna de representa os vetores de expressos na base .
Dado que é a base canônica:
Expressando esses vetores na base :
Portanto, a matriz de mudança de base é:

Passo 6

Parte (e): Verificar se existe uma transformação inversa tal que
Para que exista uma transformação inversa , a transformação precisa ser bijetiva, ou seja, ser injetiva e sobrejetiva.
Já vimos na parte (a) que é injetiva, mas na parte (b) que não é sobrejetiva. Portanto, não é bijetiva e, consequentemente, não possui uma transformação inversa que satisfaça para todo em .

Resposta

(a) Sim, é injetiva porque seu núcleo contém apenas o vetor zero.
(b) Não, não é sobrejetiva porque o posto da matriz é menor que a dimensão de .
© Uma outra base para é .
(d) A matriz de mudança de base de para é:
(e) Não, não existe tal transformação inversa porque não é bijetiva.

Exercícios relacionados

Sejam
dois espaços vetoriais, e seja uma transformação linear induzida pela matriz
Pede-se:
  1. O espaço domínio, o espaço contra-domínio, e o espaço imagem da transformação linear T. (2,0 pontos)
  2. As dimensões dos espaços vetoriais do item acima. (2,0 pontos)
  3. Uma base para cada espaço vetorial do item 1. (2,0 pontos)
  4. Mostre que tem inversa pela esquerda (induz um mapeamento injetivo). (3,0 pontos)
  5. Responda se tem inversa pela direita, e justifique sua resposta. ( 1,0 ponto)
Seja um operador linear em induzido pela matriz dada abaixo.
Pede-se:
(a) o resultado da aplicação de sobre o vetor
(b) a representação do vetor x na base
© o resultado da aplicação da transformação linear sobre na base
1- sobrejetiva sobrejetiva
2- BA sobrejetiva sobrejetiva
3- BA injetiva injetiva
4 - BA injetiva injetiva
Prove, ainda, que se então as quatro implicações são verdadeiras.
Seja o espaço vetorial gerado pelos vetores . Encontre duas bases diferentes para , digamos, e , e forneça as matrizes e de mudança de base para para , respectivamente.