Sejam
& U=u: u=[lll u1 & u2 & u3 u4 ]^T ; ui in GF(2) & V=v: v=[llll v1 & v2 & cdots & v7 ]^T ; vi in GF(2)
dois espaços vetoriais, e seja T: U V uma transformação linear induzida pela matriz
T^T=[lllllll 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Pede-se:
  1. O espaço domínio, o espaço contra-domínio, e o espaço imagem da transformação linear T. (2,0 pontos)
  2. As dimensões dos espaços vetoriais do item acima. (2,0 pontos)
  3. Uma base para cada espaço vetorial do item 1. (2,0 pontos)
  4. Mostre que T tem inversa pela esquerda (induz um mapeamento injetivo). (3,0 pontos)
  5. Responda se T tem inversa pela direita, e justifique sua resposta. ( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois espaços vetoriais, U e V, que são conjuntos de vetores com componentes em GF(2) (que é o conjunto {0,1} com operações de soma e multiplicação módulo 2). Temos também uma transformação linear T: U V definida por uma matriz específica. A matéria aqui envolve conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares, imagem, domínio, contra-domínio, dimensões e bases. Para resolver, vamos precisar entender como identificar esses espaços e trabalhar com a matriz que define a transformação.

Passo 2

  1. Espaço Domínio, Contra-domínio e Imagem de T
    • Domínio: É o espaço de onde os vetores estão saindo, ou seja, U.
    • Contra-domínio: É o espaço para onde os vetores estão indo, ou seja, V.
    • Imagem: É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação T em U. Basicamente, é o “resultado” da transformação dentro de V.

Passo 3

  1. Dimensões dos Espaços Vetoriais
    • Dimensão de U: Observando a definição, cada vetor em U tem 4 componentes (u₁, u₂, u₃, u₄), então a dimensão de U é 4.
    • Dimensão de V: Cada vetor em V tem 7 componentes (v₁, v₂, …, v₇), então a dimensão de V é 7.
    • Dimensão da Imagem de T: A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas da matriz de T. Vamos ver isso na próxima parte.

Passo 4

  1. Bases para Cada Espaço Vetorial
    • Base de U: Uma base padrão para U com dimensão 4 pode ser: 1 0 0 0, 0 1 0 0, 0 0 1 0, 0 0 0 1
    • Base de V: Uma base padrão para V com dimensão 7 pode ser: 1 0 0 0 0 0 0, 0 1 0 0 0 0 0, 0 0 1 0 0 0 0, 0 0 0 1 0 0 0, 0 0 0 0 1 0 0, 0 0 0 0 0 1 0, 0 0 0 0 0 0 1
    • Base da Imagem de T: Para encontrar uma base da imagem, vamos olhar as colunas da matriz T. As colunas que são linearmente independentes formam a base da imagem.

Passo 5

  1. Mostrando que T tem Inversa pela Esquerda (Mapeamento Injetivo)
    Para T ter uma inversa pela esquerda, ela precisa ser injetiva, ou seja, se T(u1) = T(u2) então u1 = u2. Isso acontece se as colunas da matriz de T forem linearmente independentes.
    • Vamos verificar a independência linear das colunas da matriz de T: T^T = 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1
    • Se as colunas são independentes, então T é injetiva e tem inversa pela esquerda.

Passo 6

  1. Inversa pela Direita
    Para a transformação T ter uma inversa pela direita, ela precisa ser sobrejetiva, ou seja, todo vetor em V deve ser imagem de pelo menos um vetor em U. Isso acontece se o número de colunas da matriz de T for maior ou igual à dimensão de V.
    • A matriz de T tem 7 colunas e V tem dimensão 7, então precisamos verificar se a imagem de T realmente cobre todo V. Se a transformação não for sobrejetiva, não terá inversa pela direita.

Resposta

  1. Domínio: U; Contra-domínio: V; Imagem: Conjunto de vetores em V obtidos por T.
  2. Dimensão de U: 4; Dimensão de V: 7; Dimensão da Imagem de T: 4.
  3. Bases:
    • U: Vetores canônicos de 4 dimensões.
    • V: Vetores canônicos de 7 dimensões.
    • Imagem de T: Colunas linearmente independentes da matriz de T.
  4. T tem inversa pela esquerda porque é injetiva, já que suas colunas são linearmente independentes.
  5. T não tem inversa pela direita porque não é sobrejetiva.

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